Mudanças de base

Coordenadas e matriz de passagem

O vetor mantém-se quando mudas de base; mudam os coeficientes. As bases são ordenadas e as coordenadas são colunas: $[v]_C=M_{B\to C}[v]_B$, e a coluna $j$ de $M_{B\to C}$ é $[b_j]_C$.

Se $P_B$ tem os vetores de $B$ como colunas canónicas, $v=P_B[v]_B$ e $M_{B\to C}=P_C^{-1}P_B$. As passagens são invertíveis, porque as colunas representam bases.

Um vetor, duas representações

Para $B=((1,1),(1,-1))$ e $v=(3,1)$:

$$P_B=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix},\qquad P_B^{-1}=\frac12\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix},\qquad [v]_B=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}.$$

Assim, $v=2(1,1)+(1,-1)$:

A mudança inversa é $M_{C\to B}=M_{B\to C}^{-1}$. Para encadear três bases:

$$M_{B\to D}=M_{C\to D}M_{B\to C}.$$

Lê o produto da direita para a esquerda, seguindo as bases recebidas e devolvidas.

Matriz de uma aplicação noutras bases

Para $T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ de matriz canónica $A$:

$$[T]_{C\leftarrow B}=P_C^{-1}AP_B.$$

1. $P_B$ converte a entrada de $B$ para a base canónica.
2. $A$ aplica a transformação.
3. $P_C^{-1}$ converte a saída para $C$.

Também podes construir a matriz diretamente pelas colunas $[T(b_j)]_C$.

Num endomorfismo com a mesma base nova nos dois lados, a fórmula é $A_{\text{nova}}=P^{-1}A_{\text{antiga}}P$, sendo $P$ a passagem da base nova para a antiga. As matrizes são semelhantes e conservam traço, determinante e valores próprios.

Para $A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}$ e $P=P_B$ do exemplo, $P^{-1}AP=\operatorname{diag}(3,1)$. Não é preciso normalizar para esta diagonalização. Numa forma quadrática, porém, a substituição produz $P^TAP$, não $P^{-1}AP$; uma base ortonormada conserva comprimentos.

Exemplo com bases diferentes no domínio e na chegada.