Matrizes e operações matriciais

Tipos e operações

• Uma matriz $A=[a_{ij}]$ de tipo $m\times n$ tem $m$ linhas e $n$ colunas. $a_{ij}$ fica na linha $i$, coluna $j$.
• Soma e escalar fazem-se entrada a entrada e exigem o mesmo tipo.
• O produto $(m\times p)(p\times n)$ existe e tem tipo $m\times n$:

$$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^p a_{ik}b_{kj}.$$

É associativo e distributivo, mas em geral $AB\ne BA$. Para $A$ de tipo $m\times n$, $I_mA=AI_n=A$.

Com $A=\begin{bmatrix}2&1\\0&3\end{bmatrix}$ e $B=\begin{bmatrix}1&-1\\4&2\end{bmatrix}$, $AB=\begin{bmatrix}6&0\\12&6\end{bmatrix}$ e $BA=\begin{bmatrix}2&-2\\8&10\end{bmatrix}$. As colunas de $A$ são as imagens dos versores; o quadrado unitário vira um paralelogramo de área 6:

Transposta e inversa

A transposta troca linhas por colunas. A inversa só existe para uma matriz quadrada invertível, e satisfaz $AA^{-1}=A^{-1}A=I$.

Operação	Regra
Transposta de uma soma	$(A+B)^T=A^T+B^T$
Transposta de um produto	$(AB)^T=B^TA^T$
Inversa de um produto invertível	$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
Inversa da transposta	$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$

Para $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$, a inversa existe exatamente quando $ad-bc\ne0$:

$$A^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}.$$

Equações e potências

Com os fatores a inverter quadrados e invertíveis, $AX=B$ dá $X=A^{-1}B$, $XA=B$ dá $X=BA^{-1}$ e $AXB=C$ dá $X=A^{-1}CB^{-1}$.

• Não há divisão por matrizes. Um produto nulo pode ter ambos os fatores não nulos: $N=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$ satisfaz $N^2=0$.
• $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$. Só juntamos os termos centrais se $AB=BA$.
• Para $A$ quadrada e $k\ge0$ inteiro, $A^0=I$. Numa diagonal, elevam-se as entradas da diagonal; numa matriz geral, não.
• Multiplicar à esquerda por uma matriz elementar aplica a operação de linhas correspondente.

Uma relação polinomial pode fornecer a inversa: $A^2-3A+I=0$ dá $A(3I-A)=(3I-A)A=I$, logo $A^{-1}=3I-A$.

Simetria e ortogonalidade

• Simétrica: $A^T=A$. Antissimétrica: $A^T=-A$.
• Ortogonal real quadrada: $Q^TQ=I$, logo $Q^{-1}=Q^T$. As colunas têm norma 1 e são perpendiculares entre si.
• Simetria e ortogonalidade são condições diferentes. $2I$ é simétrica, mas a sua inversa é $I/2$.

Resolução de equações matriciais.