Aplicações lineares

Linearidade

$T:V\to W$ é linear se $T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)$ para quaisquer $u,v$ e escalares reais $\alpha,\beta$.

$T(0)=0$ é necessário, mas não suficiente: $T(x,y)=(x^2,y)$ envia zero para zero, mas $T(2,0)=(4,0)\ne2T(1,0)$.

Núcleo, imagem e dimensões

$\ker T=\{v:T(v)=0\}$ e $\operatorname{Im}T=\{T(v):v\in V\}$, subespaços do domínio e da chegada. Para $V$ de dimensão finita, $\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T=\dim V$.

Propriedade	Critério
Injetiva	$\ker T=\{0\}$
Sobrejetiva	$\operatorname{Im}T=W$
Bijetiva, ou isomorfismo	Ambas as condições

Com domínio e chegada da mesma dimensão finita, uma implica a outra; com dimensões diferentes, não.

Para $T(x,y,z)=(x+z,y+z)$: $\ker T=\operatorname{span}((-1,-1,1))$, $\operatorname{Im}T=\mathbb R^2$. É sobrejetiva e não injetiva; os argumentos enviados para $(2,3)$ são $(2,3,0)+t(-1,-1,1)$.

Matriz e composição

Fixadas bases $B$ no domínio e $C$ na chegada, a coluna $j$ da matriz é $[T(b_j)]_C$. Para $T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$, a matriz é $m\times n$.

• Calcula o núcleo resolvendo $Ax=0$ nas coordenadas escolhidas.
• A imagem é gerada pelas colunas; as colunas originais nas posições dos pivôs dão uma base. A dimensão da imagem é $\operatorname{car}(A)$.
• Se $T$ tem matriz $A$ e $S$ tem matriz $B$, então $S\circ T$ tem matriz $BA$, desde que a base de saída de $T$ seja a de entrada de $S$.
• Uma aplicação bijetiva tem matriz quadrada invertível; a inversa usa $A^{-1}$ com as bases trocadas.

A grelha mostra a ação de $S(x,y)=(2x+y,x+2y)$, cujas colunas são as imagens dos versores:

Lei a partir de imagens

As imagens de uma base determinam uma única aplicação linear. Se os argumentos dados forem dependentes, as imagens têm de respeitar todas as mesmas dependências.

Com $T(1,1)=(3,1)$ e $T(1,-1)=(1,3)$:

$$(x,y)=\frac{x+y}{2}(1,1)+\frac{x-y}{2}(1,-1) \quad\Longrightarrow\quad T(x,y)=(2x+y,2x-y).$$

As imagens dadas não são colunas da matriz canónica. Se $P_B$ reúne os argumentos de uma base em coordenadas canónicas e $R$ reúne as imagens, então $A=RP_B^{-1}$.

Uma aplicação injetiva que não atinge toda a chegada só tem inversa sobre a imagem. Restringir a chegada a $\operatorname{Im}T$ torna-a bijetiva; não define uma inversa em pontos fora da imagem.

Uma base do núcleo também dá imagens conhecidas, iguais a zero. Completa-a com direções cujas imagens são dadas e decompõe o argumento nessa base. Com $\ker T=\operatorname{span}((1,1))$ e $T(0,1)=(10,13)$,

$$(x,y)=x(1,1)+(y-x)(0,1),\qquad T(x,y)=(y-x)(10,13).$$

Confirma o núcleo completo no fim, não apenas que os geradores são enviados para zero.

Construção da lei a partir de imagens.