Regime forçado sinusoidal

Uma fonte $u_s(t)=10\cos(100t)\,\mathrm V$ alimenta uma resistência e uma bobina em série. Depois de o transitório decair, a corrente oscila à mesma frequência, mas chega aos máximos mais tarde. O fasor permite calcular a amplitude e esse atraso de fase sem resolver de novo a equação diferencial.

Esta resposta sinusoidal aplica-se ao regime permanente de um circuito linear, invariante no tempo e com transitório que decai. Um circuito LC livre ideal, sem resistência e com energia inicial, oscila sem assentar e não tem esse transitório que decai. Uma bobina isolada que conserva uma corrente constante é outro caso sem oscilação nem decaimento. Distingue resposta livre, resposta forçada à frequência da fonte e ressonância. Um circuito com díodo pode gerar outras frequências. As propriedades dos sistemas formalizam estas condições.

Fasores e impedância

Usamos $j^2=-1$ para não confundir a unidade imaginária com corrente. Para $u(t)=U_m\cos(\omega t+\phi)$, o fasor de pico é $\underline U=U_me^{j\phi}$ e $u(t)=\Re\{\underline Ue^{j\omega t}\}$. A frequência fica implícita. Não somes fasores de frequências diferentes numa única equação fasorial.

Por exemplo, $4\sin(\omega t+\pi/8)=4\cos(\omega t-3\pi/8)$ tem fasor de pico $4e^{-j3\pi/8}$. Uma amplitude negativa passa a positiva se acrescentares $\pi$ à fase. O exercício de conversão adapta amplitude e fase da TP9 de 2025/26 com outra frequência; a frequência fica implícita no cálculo fasorial e não entra no fasor.

Derivar $\Re\{\underline Xe^{j\omega t}\}$ dá $\Re\{j\omega\underline Xe^{j\omega t}\}$, porque a derivada da exponencial traz o fator $j\omega$. Por isso, no domínio fasorial, derivar multiplica o fasor por $j\omega$. Assim, $\underline U=Z\underline I$, com

$$Z_R=R,\qquad Z_L=j\omega L,\qquad Z_C=\frac1{j\omega C}=-\frac j{\omega C}.$$

A impedância tem unidade ohm. A admitância $Y=1/Z$ tem unidade siemens. Na resistência, tensão e corrente estão em fase; na bobina, a tensão adianta a corrente de $\pi/2$; no condensador, a corrente adianta a tensão de $\pi/2$.

As impedâncias somam em série; as admitâncias somam em paralelo. Kirchhoff, nós, malhas, divisores, Thévenin e Norton conservam a estrutura algébrica, mas usam complexos. Primeiro converte a fonte, depois calcula a impedância a essa frequência e, no fim, recupera a função real.

Se ainda é difícil ver como uma sinusoide se resume a amplitude e fase, vê esta introdução aos fasores: observa como relaciona cada sinusoide com a sua amplitude e a sua fase.

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Exemplo: circuito RL

A fonte é $u_s(t)=10\cos(100t)\,\mathrm V$, $R=3\,\Omega$ e $L=40\,\mathrm{mH}$. Temos $Z=3+j4=5e^{j0{,}927}\,\Omega$. Logo

$$\underline I=\frac{10}{3+j4}=1{,}2-j1{,}6 =2e^{-j0{,}927}\,\mathrm A,$$

ou $i(t)=2\cos(100t-0{,}927)\,\mathrm A$. A corrente atrasa-se cerca de $53{,}1^\circ$. As quedas são $\underline U_R=3{,}6-j4{,}8$ e $\underline U_L=6{,}4+j4{,}8$ volts. A soma dá $10+j0$, como exige a fonte.

Valores eficazes e potência

Para uma sinusoide, $U_{\rm ef}=U_m/\sqrt2$ e $I_{\rm ef}=I_m/\sqrt2$. Um sinal com componente contínua exige calcular a média de $u^2$; não se aplica automaticamente a divisão por $\sqrt2$.

Com fasores de pico e convenção passiva,

$$P=\frac12\Re\{\underline U\underline I^*\} =U_{\rm ef}I_{\rm ef}\cos(\phi_U-\phi_I).$$

O conjugado é necessário. Para fasores eficazes, a potência complexa é $S=\underline U_{\rm ef}\underline I_{\rm ef}^*=P+jQ_{\rm r}$. $P$ mede-se em watts, $Q_{\rm r}$ em var e $|S|$ em VA. O fator de potência é $P/|S|=\cos(\phi_U-\phi_I)$ numa carga sinusoidal.

No RL anterior, $I_{\rm ef}=\sqrt2\,\mathrm A$, $P=RI_{\rm ef}^2=6\,\mathrm W$ e $Q_{\rm r}=\omega LI_{\rm ef}^2=8\,\mathrm{var}$. Temos $|S|=10\,\mathrm{VA}$ e fator de potência $0{,}6$. A bobina ideal troca energia mas tem potência média zero. A potência instantânea pode oscilar e tornar-se negativa durante parte do ciclo.

Ressonância série

Num RLC série,

$$Z=R+j\left(\omega L-\frac1{\omega C}\right), \qquad\omega_0=1/\sqrt{LC}.$$

Em $\omega_0$, $Z=R$: a corrente é máxima para amplitude de tensão da fonte fixa. $\underline U_L$ e $\underline U_C$ cancelam-se, embora os seus módulos possam exceder o da fonte. É uma soma de fasores, não de módulos.

Com $R=20\,\Omega$, $L=50\,\mathrm{mH}$ e $C=20\,\mathrm{\mu F}$, temos $\omega_0=1000\,\mathrm{rad/s}$ e $Q=\omega_0L/R=2{,}5$. Uma fonte com $10\,\mathrm V$ eficazes dá $0{,}50\,\mathrm A$ eficazes e $5\,\mathrm W$. As tensões eficazes na bobina e no condensador são $25\,\mathrm V$, em oposição de fase.

As frequências de meia potência da corrente satisfazem $|\omega L-1/(\omega C)|=R$. A largura de banda angular é $\Delta\omega=R/L=\omega_0/Q$. O pico de tensão no condensador não coincide sempre com a ressonância de corrente; depende do amortecimento e da saída escolhida.

Ressonância paralelo

Para $R,L,C$ ideais todos em paralelo,

$$Y=\frac1R+j\left(\omega C-\frac1{\omega L}\right).$$

Na mesma $\omega_0$, a admitância é mínima e a impedância máxima, $Z=R$. Com fonte de tensão de amplitude fixa, a corrente total é mínima. As correntes reativas cancelam-se nos terminais, mas podem ser grandes em cada ramo. Com fonte de corrente, a tensão é máxima.

Este RLC paralelo tem $Q=R\sqrt{C/L}$, diferente da expressão série. Uma fonte ideal DC diretamente em paralelo com uma bobina ideal impõe tensão não nula a um curto em regime estacionário. Para descrever o caso real, inclui resistência do enrolamento e da fonte. O modelo ideal não permite concluir uma corrente DC finita nesse circuito.

Medir amplitudes e fases

Uma sinusoide sem offset tem $U_m=U_{pp}/2$ e $U_{\rm ef}=U_{pp}/(2\sqrt2)$. Confirma o tipo de leitura no osciloscópio ou multímetro; não assumes que todo o mostrador apresenta valor eficaz. Para atraso temporal $\Delta t$ entre sinusoides, o módulo da diferença de fase é $\omega\Delta t$, e o sinal depende de qual chega primeiro.