Ondas eletromagnéticas

Uma variação do campo elétrico está ligada a uma variação do campo magnético. As equações de Maxwell permitem que essa perturbação se propague mesmo sem cargas ou correntes na região atravessada.

Da lei de Maxwell à equação de onda

No vazio sem fontes, $\nabla\cdot\vec E=0$, $\nabla\cdot\vec B=0$, $\nabla\times\vec E=-\partial_t\vec B$ e $\nabla\times\vec B=\mu_0\varepsilon_0\partial_t\vec E$.

Vamos tomar o rotacional de Faraday. Usando $\nabla\times(\nabla\times\vec E)=\nabla(\nabla\cdot\vec E)-\nabla^2\vec E$, o primeiro termo é zero. Substituímos Ampère-Maxwell no segundo membro:

$$-\nabla^2\vec E=-\partial_t(\nabla\times\vec B) =-\mu_0\varepsilon_0\partial_t^2\vec E.$$

Cancelando os sinais negativos, e repetindo o raciocínio para $\vec B$, obtemos

$$\nabla^2\vec E=\mu_0\varepsilon_0\partial_t^2\vec E, \qquad \nabla^2\vec B=\mu_0\varepsilon_0\partial_t^2\vec B.$$

A velocidade no vazio é $c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}=299\,792\,458\,\mathrm{m/s}$. As equações de onda são necessárias, mas uma escolha de $\vec E$ e $\vec B$ tem ainda de satisfazer todas as equações de Maxwell.

Fase, frequência e direção

Uma onda harmónica plana pode ter

$$\vec E(z,t)=E_m\cos(kz-\omega t+\phi)\hat e_x.$$

$E_m$ é a amplitude de pico, $k=2\pi/\lambda$ o número de onda angular em $\mathrm{rad/m}$, $\omega=2\pi f$ a frequência angular em $\mathrm{rad/s}$. Fixa uma crista com fase constante, $kz-\omega t+\phi=\text{constante}$. Derivar no tempo dá $k\,dz/dt-\omega=0$, logo $dz/dt=\omega/k>0$. O sinal menos em $kz-\omega t$ corresponde à propagação para $+z$; $kz+\omega t$ daria $dz/dt<0$, ou seja propagação para $-z$.

A onda é monocromática porque tem uma frequência, plana porque as superfícies de fase constante são planos e transversal porque $\vec E$ e $\vec B$ são perpendiculares à direção de propagação. Nesta onda a polarização elétrica é linear segundo $x$.

No vazio,

$$\vec B=\frac1c\hat k\times\vec E, \qquad B_m=E_m/c, \qquad c=\lambda f.$$

Para propagação em $+z$ e $\vec E$ em $+x$, o campo magnético aponta para $+y$ e os dois campos estão em fase; inverter o sentido de propagação exige inverter o sentido relativo de $\vec B$.

Energia e vetor de Poynting

A densidade de energia eletromagnética no vazio é

$$w=\frac12\varepsilon_0E^2+\frac{B^2}{2\mu_0}, \qquad \vec S=\frac1{\mu_0}\vec E\times\vec B.$$

$w$ tem unidade $\mathrm{J/m^3}$; $\vec S$ é fluxo de potência, em $\mathrm{W/m^2}$. Na onda plana, as contribuições elétrica e magnética para $w$ são iguais. O vetor de Poynting aponta no sentido de propagação e a intensidade média é

$$\mathcal I=\langle S\rangle=\frac12\varepsilon_0cE_m^2 =\frac{E_m^2}{2Z_0},\qquad Z_0=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}\simeq377\,\Omega.$$

O fator $1/2$ vem da média de $\cos^2$, porque $E_m$ é amplitude de pico. Com valor eficaz, usa $\mathcal I=\varepsilon_0cE_{\rm ef}^2$.

Exemplo: onda de rádio

Uma onda no vazio tem $f=100\,\mathrm{MHz}$ e $E_m=10\,\mathrm{V/m}$. O comprimento de onda é $c/f\simeq3{,}00\,\mathrm m$ e a amplitude magnética é $3{,}34\times10^{-8}\,\mathrm T$.

A intensidade média é $0{,}133\,\mathrm{W/m^2}$. Através de $0{,}020\,\mathrm{m^2}$ perpendiculares à propagação passa uma potência média de $2{,}65\,\mathrm{mW}$. Isto é a potência que atravessa a área, não necessariamente a potência absorvida por uma antena real.

Balanço de energia

O teorema de Poynting é

$$\partial_tw=-\vec J\cdot\vec E-\nabla\cdot\vec S.$$

A energia local diminui se o campo entrega potência à matéria, $\vec J\cdot\vec E>0$, ou se há fluxo líquido para fora. Num resistor óhmico, $\vec J\cdot\vec E=\sigma E^2$ é potência dissipada por volume. Uma região sem cargas pode receber e transmitir energia por $\vec S$.

Sobreposição e radiação

Em meio linear, somam-se os campos. Duas ondas de frequências próximas $f_1$ e $f_2$ produzem batimentos: a identidade $\cos a+\cos b=2\cos((a-b)/2)\cos((a+b)/2)$ separa uma oscilação rápida de uma envolvente lenta. A frequência dos máximos de amplitude é $|f_1-f_2|$.

Uma carga acelerada pode emitir radiação. Na aproximação não relativista, a potência instantânea radiada é

$$P=\frac{q^2a^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}.$$

A análise dimensional permite obter a dependência em $q,a,\varepsilon_0,c$, mas não determina o fator $1/(6\pi)$. Se a aceleração oscilar, a potência média exige calcular $\langle a^2\rangle$.

Longe de uma fonte localizada, em campo de radiação, a amplitude decai aproximadamente como $1/r$ e a intensidade como $1/r^2$. Duplicar a distância divide a amplitude por dois e a intensidade por quatro. A onda plana de amplitude constante é uma aproximação local, não um modelo para todo o espaço em torno de uma antena.