Séries e transformada de Fourier

Para prever o que um filtro conserva, descrevemos o sinal por frequências. Um sinal periódico tem harmónicos separados pela frequência fundamental. Um sinal aperiódico pode precisar de um contínuo de frequências.

Série complexa de Fourier

Para período fundamental $T_0$ e $\omega_0=2\pi/T_0$,

$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{jk\omega_0t}, \qquad a_k=\frac1{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt.$$

Integra qualquer período completo. $a_0$ é o valor médio. Para sinais reais, $a_{-k}=a_k^*$. Sob condições usuais de regularidade, a série converge para o sinal nos pontos contínuos e para a média dos limites laterais nos saltos. Não promete reproduzir o valor escolhido arbitrariamente no ponto de descontinuidade.

Por Euler, $A\cos(\omega_0t+\phi)$ tem $a_1=(A/2)e^{j\phi}$, $a_{-1}=(A/2)e^{-j\phi}$ e restantes zero. A amplitude $A$ divide-se entre frequências positiva e negativa. Não confundas esses coeficientes com o fasor de pico $Ae^{j\phi}$.

Simetria e harmónicos

Para um sinal real e par, os coeficientes são reais e a forma trigonométrica só tem cossenos. Para um sinal real e ímpar, aparecem senos. Se $x(t+T_0/2)=-x(t)$, não há componente contínua nem harmónicos pares.

Exemplo: onda quadrada

Uma onda de amplitude $\pm A$ é positiva em $0<t<T_0/2$ e negativa em $-T_0/2<t<0$. É ímpar e tem simetria de meia onda. Assim, $a_0=0$ e os harmónicos pares desaparecem.

Para obter os coeficientes dos senos, somamos as duas metades do período. Como $x(t)$ e $\sin(k\omega_0t)$ são ímpares, o produto é par:

$$b_k=\frac{4A}{T_0}\int_0^{T_0/2}\sin(k\omega_0t)dt =\frac{2A}{k\pi}[1-(-1)^k].$$

Para $k$ par, o resultado é zero. Para $k$ ímpar positivo, $b_k=4A/(k\pi)$. Pela identidade de Euler, $a_k=b_k/(2j)=2A/(jk\pi)$, e $a_{-k}=a_k^*$. A série fica

$$x(t)=\frac{4A}{\pi}\left[ \sin(\omega_0t)+\frac13\sin(3\omega_0t)+\frac15\sin(5\omega_0t)+\cdots\right].$$

O primeiro harmónico tem amplitude $4A/\pi$, maior que $A$. Os restantes corrigem a forma; não se somam todos como valores máximos simultâneos.

A soma truncada oscila junto dos saltos. Ao acrescentar termos, a região dessas oscilações estreita, mas a ultrapassagem de Gibbs não desaparece em amplitude relativa.

A demo usa $A=1$ num período normalizado. Compara uma soma de um termo com uma de quinze: a zona de oscilação junto do salto fica mais estreita, mas o máximo ainda ultrapassa $1$. O controlo conta termos ímpares; três termos correspondem aos harmónicos $1$, $3$ e $5$.

Parseval dá $P_x=\sum_k|a_k|^2$ para um sinal periódico com a convenção acima. Na onda quadrada, $P_x=A^2$, consistente com $|x|^2=A^2$ quase em todo o período.

Transformada contínua

Fixamos a convenção angular

$$X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt, \qquad x(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega.$$

O fator $1/(2\pi)$ pertence à inversa. Se mudares para frequência em hertz, mudam os fatores no exponencial. Para $x$ absolutamente integrável, a integral direta está definida; sinais de energia finita admitem a transformada no sentido de quadrado integrável. Sinais periódicos e impulsos exigem distribuições.

Para $x(t)=Ae^{-at}u(t)$, $a>0$,

$$X(\omega)=A\int_0^\infty e^{-(a+j\omega)t}dt =\frac A{a+j\omega}.$$

Para um pulso retangular de altura $A$, centrado em zero e duração $T$,

$$X(\omega)=AT\,\operatorname{sinc}(\omega T/2), \qquad\operatorname{sinc}(z)=\frac{\sin z}{z},\quad\operatorname{sinc}(0)=1.$$

Em $\omega=0$, a transformada vale $AT$, a área do pulso. Para $\omega\ne0$, o integral que produz a sinc é

$$A\int_{-T/2}^{T/2}e^{-j\omega t}dt =\frac A{-j\omega}(e^{-j\omega T/2}-e^{j\omega T/2}) =\frac{2A}{\omega}\sin(\omega T/2).$$

Os primeiros zeros ocorrem em $\omega=\pm2\pi/T$. Encurtar o pulso alarga o espectro. Esta definição de sinc usa radianos no argumento; outras convenções incluem $\pi$.

Propriedades úteis

Com as integrais definidas, ou na interpretação apropriada de distribuições:

• Linearidade: $ax_1+bx_2$ transforma-se em $aX_1+bX_2$.
• Atraso: $x(t-t_0)$ transforma-se em $e^{-j\omega t_0}X(\omega)$. Altera fase, não módulo.
• Escala: $x(at)$ transforma-se em $X(\omega/a)/|a|$ para $a\ne0$.
• Derivada: $x'(t)$ transforma-se em $j\omega X(\omega)$, com as condições de fronteira adequadas.
• Convolução: $x*h$ transforma-se em $XH$, um produto.
• Produto temporal: $xh$ transforma-se em $(X*H)/(2\pi)$, uma convolução em frequência.

Para sinais reais, $X(-\omega)=X(\omega)^*$, logo o módulo é par. A energia satisfaz $E_x=(1/2\pi)\int|X(\omega)|^2d\omega$. A representação espectral não cria nem elimina energia; muda a forma de a calcular.

Um impulso tem transformada um. Uma constante unitária tem transformada $2\pi\delta(\omega)$. Uma sinusoide de frequência $\omega_0$ tem impulsos em $\pm\omega_0$, não um espectro contínuo ordinário.