Exercícios MT2

A carga total dentro de $E_1$ é positiva. Entre as esferas, $\vec E=-\mathrm{d}V/\mathrm{d}r\,\hat r$ aponta no sentido de $-\hat r$ (para fora), porque o potencial decresce de $V_1$ para $V_2$. Assim, o fluxo de $\vec E$ através de $E_1$ é positivo e, pela lei de Gauss, $Q_{\mathrm{int}}=\varepsilon_0\Phi_E>0$.

O sinal do campo entre equipotenciais esféricas fica determinado pela derivada do potencial: como $V$ decresce com $r$, $\vec E$ é radial para fora e a carga interior tem de ser positiva.

• A carga total dentro da esfera $E_1$ é negativa.. O potencial decresce para fora, logo o campo aponta para fora e o fluxo é positivo.
• A esfera $E_1$ é uma esfera condutora.. As equipotenciais esféricas não implicam que a superfície seja condutora.
• Existe uma carga pontual na origem.. A carga pode estar distribuída; só se conhece o fluxo total.
• A carga total dentro da esfera $E_1$ é positiva.. Como $V_1>V_2$, o campo entre as esferas aponta para fora, logo o fluxo através de $E_1$ é positivo e, pela lei de Gauss, a carga interior é positiva.
• A carga total dentro da esfera $E_1$ é nula.. Se a carga fosse nula, o potencial seria constante entre as esferas.

$v=1{,}7\times10^7\ \mathrm{m/s}$.

Para o feixe não ser desviado, a força elétrica e a força magnética têm de se anular: $eE=evB$, logo $v=E/B$. Com $B=20\ \mathrm{G}=2{,}0\times10^{-3}\ \mathrm{T}$, obtém-se $v=3{,}4\times10^4/(2{,}0\times10^{-3})=1{,}7\times10^7\ \mathrm{m/s}$.

$V\approx1286\ \mathrm{V}$ (cerca de $1285\ \mathrm{V}$ com $k=8{,}99\times10^9$).

O ponto a $6\ \mathrm{cm}$ está dentro da esfera exterior, logo esta contribui com o potencial na sua superfície: $k\cdot3\ \mathrm{nC}/0{,}07\ \mathrm{m}$. A esfera interior contribui com $k\cdot6\ \mathrm{nC}/0{,}06\ \mathrm{m}$. Com $k=9\times10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$: $V=9\times10^9(6\times10^{-9}/0{,}06+3\times10^{-9}/0{,}07)=900+386=1286\ \mathrm{V}$.

$q\approx16{,}33\ \mathrm{nC}$.

A distância entre os pontos é $r=\sqrt{(4-3)^2+(5-7)^2+(3-4)^2}=\sqrt6\ \mathrm{cm}\approx2{,}449\ \mathrm{cm}$. De $V=kq/r$ vem $q=Vr/k=(6000\times0{,}02449)/(8{,}99\times10^9)\approx1{,}633\times10^{-8}\ \mathrm{C}=16{,}33\ \mathrm{nC}$.

$V(2)-V(1)=-14\ \mathrm{V}$.

$V(b)-V(a)=-\int_a^b\vec E\cdot\mathrm{d}\vec r=-\int_1^2 6x^2\,\mathrm{d}x=-[2x^3]_1^2=-(16-2)=-14\ \mathrm{V}$.

$|\vec\tau|\approx27{,}7\ \mathrm{N\cdot m}$.

A área do triângulo é $A=\frac12\cdot3{,}2\cdot4{,}8=7{,}68\ \mathrm{m^2}$, com normal $\hat k$. O momento magnético é $\vec m=IA\,\hat k=7{,}68\,\hat k\ \mathrm{A\cdot m^2}$. O binário é $\vec\tau=\vec m\times\vec B=7{,}68\,\hat k\times(2\hat\imath+3\hat\jmath+5\hat k)=7{,}68(2\hat\jmath-3\hat\imath)$, cujo módulo é $7{,}68\sqrt{2^2+3^2}=7{,}68\sqrt{13}\approx27{,}7\ \mathrm{N\cdot m}$.

$\Phi_B=0{,}108\ \mathrm{T\cdot m^2}=108\ \mathrm{mT\cdot m^2}$.

$\Phi_B= NBA\cos\theta=200\times0{,}15\times(0{,}06)^2\times1=200\times0{,}15\times0{,}0036=0{,}108\ \mathrm{Wb}$.

$|\varepsilon_{\mathrm{m\acute edia}}|\approx2{,}61\ \mathrm{\mu V}$.

Pela lei de Faraday, $|\varepsilon|=L\,\dfrac{\Delta I}{\Delta t}=4{,}2\times10^{-3}\times\dfrac{2{,}8\times10^{-3}}{4{,}5}=2{,}61\times10^{-6}\ \mathrm{V}=2{,}61\ \mathrm{\mu V}$. A f.e.m. da fonte não entra no cálculo da f.e.m. induzida.

$\vec E'=\vec v\times\vec B=\dfrac{2k_mIvx}{z^2+x^2}\,\hat\jmath$.

No referencial do fio não há campo elétrico, logo no referencial que se desloca com $\vec v$ o campo elétrico é $\vec E'=\vec v\times\vec B$. Como $\hat\imath\times\hat k=-\hat\jmath$ e $\hat\imath\times\hat\imath=0$, apenas a componente $B_z$ contribui: $\vec E'=v\hat\imath\times\left(-\dfrac{2k_mIx}{z^2+x^2}\hat k\right)=\dfrac{2k_mIvx}{z^2+x^2}\hat\jmath$.

Os pontos de equilíbrio de um campo magnético podem ser centros.

Como $\nabla\cdot\vec B=0$, as linhas de campo magnético não podem começar nem acabar num ponto: não pode haver focos nem atrativos. Podem, no entanto, anular-se num ponto rodeado por linhas fechadas, ou seja, um centro.

• É um campo conservativo.. Em geral $\nabla\times\vec B\neq0$ onde há corrente, logo não é conservativo.
• Os seus pontos de equilíbrio podem ser centros.. Um ponto onde $\vec B=0$ pode ser um centro, com linhas de campo fechadas à sua volta; isto não acontece com o campo elétrico em regiões sem carga.
• Pode ter pontos de equilíbrio atrativos.. Um ponto de equilíbrio atrativo implicaria convergência das linhas de campo, impossível porque $\nabla\cdot\vec B=0$.
• As suas linhas de campo são sempre curvas; nunca podem ser retas.. Perto de um fio retilíneo longo, por exemplo, as linhas de campo são circunferências, mas noutras geometrias podem ser retas.
• Os seus pontos de equilíbrio podem ser focos.. Um foco implicaria divergência das linhas de campo, excluída por $\nabla\cdot\vec B=0$.

A força aponta no sentido positivo do eixo dos $z$.

$\vec v=v\hat\imath$ e $\vec B=-B\hat\jmath$, logo $\vec v\times\vec B=v\hat\imath\times(-B\hat\jmath)=-vB\hat k$. Como a carga é negativa, $\vec F=q(\vec v\times\vec B)=(-|q|)(-vB\hat k)=|q|vB\hat k$, ou seja, no sentido positivo de $z$.

• Sentido positivo do eixo dos z.. Com $q<0$, $\vec F=q\vec v\times\vec B$ inverte o sentido de $\vec v\times\vec B$.
• Sentido negativo do eixo dos x.. A força magnética é sempre perpendicular à velocidade.
• Sentido positivo do eixo dos x.. A força magnética é sempre perpendicular à velocidade.
• Sentido negativo do eixo dos z.. O sinal da carga inverte o resultado de $\vec v\times\vec B$.
• Sentido negativo do eixo dos y.. A força magnética é perpendicular ao campo magnético.

$i(t)=C\dfrac{\mathrm{d}V_e}{\mathrm{d}t}=2\times10^{-6}\times(-800e^{-2t})=-1{,}6\times10^{-3}e^{-2t}\ \mathrm{A}$.

Num condensador, a corrente é $i=C\,\mathrm{d}V/\mathrm{d}t$. Derivando a tensão da fonte, $\mathrm{d}V_e/\mathrm{d}t=-800e^{-2t}$, logo $i=-1{,}6\times10^{-3}e^{-2t}\ \mathrm{A}$. O sinal negativo indica que a corrente descarrega o condensador no sentido oposto ao de carga.

$V_L=0\ \mathrm{V}$.

Em regime permanente, a corrente é constante ($I=6\ \mathrm{V}/2{,}0\ \mathrm{k\Omega}=3\ \mathrm{mA}$) e a tensão no indutor é $V_L=L\,\mathrm{d}I/\mathrm{d}t=0$. Toda a tensão da fonte fica na resistência.