Sistemas de equações lineares e método de Gauss

Gauss e Gauss-Jordan

Um sistema real de $m$ equações a $n$ incógnitas escreve-se $Ax=b$. Trabalha na matriz ampliada $[A\mid b]$, aplicando cada operação à linha inteira.

1. Escolhe um pivô não nulo, trocando linhas se necessário.
2. Elimina abaixo dele e avança para a coluna seguinte: pivôs à direita, linhas nulas no fim.
3. Resolve por substituição (Gauss) ou normaliza os pivôs e elimina acima (Gauss-Jordan).

As operações são trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo e somar a uma linha um múltiplo de outra. São reversíveis e preservam as soluções.

Classificação pela característica

A característica $r=\operatorname{car}(A)$ é o número de pivôs de $A$. Com $n$ incógnitas:

Condição	Soluções
$\operatorname{car}(A)<\operatorname{car}([A\mid b])$	Nenhuma, sistema impossível
$\operatorname{car}(A)=\operatorname{car}([A\mid b])=n$	Uma, possível e determinado
$\operatorname{car}(A)=\operatorname{car}([A\mid b])<n$	Infinitas, possível e indeterminado, com $n-r$ variáveis livres

Uma linha $[0\ \cdots\ 0\mid c]$ com $c\ne0$ significa uma contradição. As variáveis livres correspondem às colunas sem pivô de $A$, não às linhas nulas.

Por exemplo, a forma reduzida

$$\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&0&5\\0&0&1&2\\0&0&0&0\end{array}\right]$$

dá $y=t$, $z=2$ e $x=5-2t$. Todas as soluções são $(5,0,2)+t(-2,1,0)$, com $t\in\mathbb R$.

Sistemas homogéneos e parâmetros

• $Ax=0$ tem sempre a solução nula. Tem soluções não nulas exatamente quando $r<n$.
• Se $x_0$ resolve $Ax=b$, todas as soluções são $x_0+\ker A$, onde $\ker A=\{u:Au=0\}$.
• Com um parâmetro, separa os valores que anulam um pivô antes de dividir. Um determinante nulo, sozinho, não distingue impossibilidade de indeterminação.

No sistema $x+ky=1$, $kx+y=1$, eliminar $x$ dá $(1-k^2)y=1-k$:

Valor de $k\in\mathbb R$	Resultado
$k\ne\pm1$	$x=y=1/(1+k)$
$k=1$	$(x,y)=(1-t,t)$, $t\in\mathbb R$
$k=-1$	Contradição $0=2$

Inversa por Gauss-Jordan

Para $A$ quadrada, reduz $[A\mid I]$ aplicando as mesmas operações aos dois blocos. Se obtiveres $[I\mid C]$, então $C=A^{-1}$. Se faltar um pivô à esquerda, $A$ não é invertível. Confirma com $AC=I$.

Discussão de sistemas com parâmetro.