Produtos escalar, vetorial e misto

Produto escalar e norma

Para $u,v\in\mathbb R^n$, $u\cdot v=\sum_i u_iv_i$ e $\|u\|=\sqrt{u\cdot u}$.

• Comutativo e distributivo; $(ku)\cdot v=k(u\cdot v)$.
• $u\cdot v=0$ significa ortogonalidade. O zero é ortogonal a todos, mas não define ângulo.
• Para $u,v\ne0$, $\cos\theta=(u\cdot v)/(\|u\|\|v\|)$, $0\le\theta\le\pi$. Sinal positivo: $\theta<\pi/2$; nulo: $\theta=\pi/2$; negativo: $\theta>\pi/2$.
• Sem coordenadas: $\|u+v\|^2=\|u\|^2+2u\cdot v+\|v\|^2$ e $|u\cdot v|\le\|u\|\|v\|$. Em geral, $\|u+v\|$ não é a soma das normas.

Produto vetorial e área

Para $u,v\in\mathbb R^3$, $u\times v=(u_2v_3-u_3v_2,\ u_3v_1-u_1v_3,\ u_1v_2-u_2v_1)$: vetor ortogonal a ambos, com sentido pela regra da mão direita.

• $u\times v=-(v\times u)$; distributivo, mas não associativo.
• $u\times v=0$ equivale a dependência linear (paralelismo, para não nulos).
• Área do paralelogramo: $\|u\times v\|$; triângulo: metade. Para não nulos, $\|u\times v\|=\|u\|\|v\|\sin\theta$.

Para vetores independentes, as duas normais unitárias são $\pm(u\times v)/\|u\times v\|$. Também podes calcular a área sem coordenadas:

$$\|u\times v\|^2=\|u\|^2\|v\|^2-(u\cdot v)^2.$$

Produto misto e volume

Em $\mathbb R^3$, $[u,v,w]=(u\times v)\cdot w=\det[u\ v\ w]$.

• $|[u,v,w]|$ é o volume do paralelepípedo. O tetraedro com essas arestas a partir do mesmo vértice tem volume $|[u,v,w]|/6$.
• Produto misto zero equivale a coplanaridade dos vetores.
• Permutações cíclicas conservam o valor; trocar dois vetores troca o sinal.

Projeção e componente orientada

Para $b\ne0$:

$$\operatorname{proj}_b a=\frac{a\cdot b}{b\cdot b}b.$$

O erro $a-\operatorname{proj}_b a$ é ortogonal a $b$. Distingue o vetor projetado, a componente escalar orientada $a\cdot b/\|b\|$ e o comprimento $|a\cdot b|/\|b\|$.

Com $a=(1,-3)$ e $b=(1,1)$, a projeção é $(-1,-1)$, a componente é $-\sqrt2$ e o comprimento é $\sqrt2$.

Contas de normas e áreas sem coordenadas.