Bases ortogonais e projeções

Bases ortogonais e ortonormadas

• Uma família é ortogonal se $u_i\cdot u_j=0$ para $i\ne j$. Se todos os vetores forem não nulos, é independente.
• É ortonormada se, além disso, todos têm norma 1. Normaliza com $q_i=u_i/\|u_i\|$.
• O vetor zero não se normaliza nem pertence a uma base.

Gram-Schmidt

Para uma família independente $(v_1,\ldots,v_k)$:

$$u_1=v_1,\qquad u_j=v_j-\sum_{i=1}^{j-1}\frac{v_j\cdot u_i}{u_i\cdot u_i}u_i.$$

1. Retira as projeções nas direções já ortogonalizadas, com normas ao quadrado nos denominadores.
2. Normaliza no fim, se o pedido exigir base ortonormada.
3. Podes multiplicar cada $u_i$ por escalar não nulo para remover frações. Um resultado zero com geradores dependentes significa redundância: retira-o e continua.

Por exemplo, $(1,1,0)$ e $(1,0,1)$ dão $u_2=(1,0,1)-\frac12(1,1,0)$, ou seja, a base ortogonal $((1,1,0),(1,-1,2))$; divide por $\sqrt2,\sqrt6$ para a tornar ortonormada.

Projeção e coordenadas

Para uma base ortogonal de $W$, $p=\operatorname{proj}_Wv=\sum_i\frac{v\cdot u_i}{u_i\cdot u_i}u_i$; numa ortonormada, $p=\sum_i(v\cdot q_i)q_i$. Se $v\in W$, os coeficientes são as suas coordenadas; senão, são coordenadas de $p$, não de $v$.

O erro $e=v-p$ pertence a $W^\perp$. A projeção é o único ponto mais próximo, a distância é $\|e\|$ e a reflexão no subespaço é $R_W(v)=2p-v$.

Com $W=\operatorname{span}((1,1,0),(1,-1,2))$ e $v=(2,1,0)$:

$$p=\frac32(1,1,0)+\frac16(1,-1,2)=(5/3,4/3,1/3), \qquad e=(1/3,-1/3,-1/3).$$

Os produtos de $e$ com ambos os geradores são zero. A distância é $1/\sqrt3$ e o refletido é $(4/3,5/3,2/3)$.

Complemento ortogonal

$$W^\perp=\{x:x\cdot w=0\text{ para todo }w\in W\}.$$

Para o calcular, exige produto escalar zero com cada vetor de uma base de $W$ e resolve o sistema homogéneo. Em $\mathbb R^n$:

$$\dim W+\dim W^\perp=n,\qquad \mathbb R^n=W\oplus W^\perp.$$

Resolução de Gram-Schmidt com três vetores.