Formas quadráticas, cónicas e quádricas

Matriz da forma quadrática

$$ax^2+2bxy+cy^2=X^TAX,\qquad A=\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix},\qquad X=(x,y)^T.$$

A entrada fora da diagonal é metade do coeficiente cruzado. Em três variáveis, faz o mesmo para $xy,xz,yz$.

Retirar termos cruzados e lineares

Para $q(X)=X^TAX+\ell^TX+k$, com $A$ real simétrica:

1. Resolve $2Ah+\ell=0$. Se $A$ invertível, $h=-\frac12A^{-1}\ell$; se singular, pode não haver solução ou haver uma família.
2. Com $X=h+Y$ e centro, $q(h+Y)=Y^TAY+q(h)$.
3. Põe uma base ortonormada de vetores próprios nas colunas de $Q$: $Q^TAQ=D$ retira os cruzados.
4. Normaliza a equação final e identifica a curva ou superfície, incluindo degenerados.

Numa forma quadrática a substituição produz $P^TAP$, nunca $P^{-1}AP$ em base arbitrária. Só a base ortonormada conserva comprimentos para ler semieixos.

Para $2x^2+2xy+2y^2-6x-6y+3=0$: centro $(1,1)$, $q(h)=-3$, e com $u=(x+y-2)/\sqrt2$, $v=(x-y)/\sqrt2$ fica $3u^2+v^2=3$, elipse de semieixos $1,\sqrt3$ com eixo maior em $(1,-1)$.

O visual mostra a elipse centrada na origem, antes da translação; as direções e semieixos são os mesmos.

Cónicas

Depois de retirar termos cruzados e completar quadrados, compara a equação final. Assume $a,b>0$ e $p\ne0$.

Forma	Curva
$u^2/a^2+v^2/b^2=1$	Elipse
$u^2/a^2-v^2/b^2=1$	Hipérbole
$v^2=4pu$	Parábola
$u^2/a^2+v^2/b^2=0$	Um ponto
$u^2/a^2-v^2/b^2=0$	Duas retas concorrentes
$u^2=a^2$	Duas retas paralelas
$u^2=0$	Reta dupla
$u^2+v^2=-1$	Conjunto vazio

Os sinais próprios não decidem tudo. Com dois valores positivos, a constante distingue elipse, ponto e vazio. Um valor próprio zero não prova que seja parábola: $x^2-2y=0$ é parábola, mas $x^2-1=0$ dá duas retas.

Quádricas

Com $a,b,c>0$:

Forma	Superfície
$u^2/a^2+v^2/b^2+w^2/c^2=1$	Elipsoide
$u^2/a^2+v^2/b^2-w^2/c^2=1$	Hiperboloide de uma folha
$-u^2/a^2-v^2/b^2+w^2/c^2=1$	Hiperboloide de duas folhas
$u^2/a^2+v^2/b^2-w^2/c^2=0$	Cone elíptico
$u^2/a^2+v^2/b^2=1$	Cilindro elíptico, livre em $w$
$w=u^2/a^2+v^2/b^2$	Paraboloide elíptico
$w=u^2/a^2-v^2/b^2$	Paraboloide hiperbólico

Uma variável ausente fica livre. Confere os casos degenerados pela equação final.

Para distinguir folhas, corta em $w=t$: $u^2+v^2-w^2=1$ dá circunferências para todo $t$; $-u^2-v^2+w^2=1$ exige $|t|\ge1$, ficando duas partes separadas.

Translação para o centro.