Vírgula flutuante e IEEE 754

Vírgula fixa

Qm.n: $m$ bits inteiros com sinal, $n$ fracionários, $x=X2^{-n}$ , passo $2^{-n}$ , intervalo $[-2^{m-1},2^{m-1}-2^{-n}]$ .

Escolhe $n$ pelo passo e $m$ pelo intervalo. Q4.4: passo 1/16, −8…7,9375. $-2{,}75$ dá $X=-44$ , código D4.
Soma: alinha escalas, $Z=X+Y$ com overflow de C2. Produto: $XY/2^n$ com intermédio largo para $XY$ . Divisão: $X2^n/Y$ , com $Y\ne0$ , numerador alargado e arredondamento definido.
$24\times(-12)=-288$ não cabe em 8 bits; $-288/16=-18$ cabe. Shift aritmético de negativos arredonda para baixo.

Formato	Sinal	Expoente	Fração	Bias
binary32	1	8	23	127
binary64	1	11	52	1023
bfloat16	1	8	7	127

$E,F$ lidos sem sinal; $p$ é a largura da fração e $E_{max}$ é o expoente todo a 1.

Normal ( $0<E<E_{max}$ ): $(-1)^s(1+F/2^p)2^{E-bias}$ . O 1 é implícito só aqui.
Subnormal ( $E=0,F\ne0$ ): $(-1)^s(F/2^p)2^{1-bias}$ . $E=F=0$ : zeros. $E=E_{max}$ dá infinito se $F=0$ e NaN se $F\ne0$ .
Bfloat16 usa a disposição 1/8/7 da tabela. Não se deve inferir que qualquer operação de bfloat16 segue as mesmas regras de um ambiente IEEE 754 completo.

$-13{,}25=-1{,}10101_2\times2^3$ : s=1, E=130, fração 10101 com 18 zeros, 0xC1540000.

Em binary32, o menor normal positivo é $2^{-126}$ , o menor subnormal positivo é $2^{-149}$ e o maior finito é $(2-2^{-23})2^{127}$ . Nos normais binary32 em $[2^e,2^{e+1})$ , o passo é $2^{e-23}$ ; nos subnormais o passo é fixo em $2^{-149}$ .
Soma: alinha expoentes, opera significandos, normaliza e arredonda no fim. Multiplicação: XOR dos sinais, soma dos expoentes reais, produto dos significandos, depois normaliza e arredonda.
Empates para par no último bit conservado. $2^{24}+1$ arredonda a $2^{24}$ : a adição não é associativa.