Vírgula flutuante

Os inteiros não chegam para representar grandezas contínuas como $9{,}6875$ ou distâncias astronómicas. A vírgula flutuante resolve o problema com uma ideia emprestada da notação científica: guarda um número significativo e uma potência da base que posiciona a vírgula.

Normalização

Normalizar é escrever o número com exatamente um dígito diferente de zero antes da vírgula. Em base 10:

$$-3129422312{,}234 = -3{,}129422312234 \times 10^9$$

O dígito antes da vírgula passou a ser o 3, e o expoente $9$ regista quantas casas a vírgula andou. Em base 2, a forma normalizada começa sempre por 1,:

$$0{,}0001011111_2 = 1{,}011111_2 \times 2^{-4}$$

Multiplicar por $2^{-4}$ desloca a vírgula quatro casas para a esquerda, desfazendo a normalização. Como em binário o único dígito não nulo é o 1, o bit à esquerda da vírgula é sempre 1 e nem precisa de ser guardado. Esta é a ideia do bit implícito, que poupa um bit em cada número guardado.

O formato IEEE 754

A norma IEEE 754 fixa como os três ingredientes, sinal, expoente e mantissa, se arrumam nos bits. Há dois tamanhos:

Campo	Precisão simples (float, 32 bits)	Precisão dupla (double, 64 bits)
Sinal	1 bit	1 bit
Expoente	8 bits	11 bits
Mantissa	23 bits	52 bits

O valor codificado é:

$$(-1)^s \times 1{,}m \times 2^{e - 127} \quad \text{(precisão simples)}$$ $$(-1)^s \times 1{,}m \times 2^{e - 1023} \quad \text{(precisão dupla)}$$

Aqui $s$ é o bit de sinal, $m$ é a mantissa (os bits à direita da vírgula, sem o 1 inicial) e $e$ é o expoente guardado. O expoente guardado tem um viés (bias): soma-se 127 (ou 1023) ao expoente verdadeiro para que o campo guardado seja sempre positivo e a comparação de expoentes funcione como comparação de inteiros sem sinal.

Exemplo completo

Codifica $-9{,}6875$ em precisão simples. Primeiro separa a parte inteira da fracionária: $9 = 1001_2$. Para $0{,}6875$, multiplica por 2 sucessivamente: $0{,}6875 \times 2 = 1{,}375$ (regista 1), $0{,}375 \times 2 = 0{,}75$ (regista 0), $0{,}75 \times 2 = 1{,}5$ (regista 1), $0{,}5 \times 2 = 1{,}0$ (regista 1). A fração é $0{,}1011_2$, por isso:

$$-9{,}6875 = -1001{,}1011_2 = -1{,}0011011_2 \times 2^3$$

Agora identifica os campos. O sinal é negativo, logo $s = 1$. A mantissa são os bits depois de 1,: 0011011, completados com zeros até 23 bits. O expoente verdadeiro é $3$, logo o campo guardado é $e = 3 + 127 = 130 = 10000010_2$.

O resultado final, separado em sinal, expoente e mantissa, é:

1 10000010 00110110000000000000000

Para descodificar, faz o caminho inverso: $s = 1$ dá o sinal negativo, $e = 130$ dá o expoente $130 - 127 = 3$, e a mantissa com o bit implícito dá $1{,}0011011_2 \times 2^3 = 1001{,}1011_2 = 9{,}6875$.

Limites do formato

A vírgula flutuante cobre um intervalo enorme, mas nem todos os valores decimais são exatos em binário: $0{,}1$, por exemplo, gera uma dízima binária infinita e é guardado com um pequeno erro de arredondamento. É por isso que somar dinheiro com float acumula erros e os programas financeiros usam inteiros de cêntimos ou tipos decimais. Guarda também esta regra prática: compara com que precisão o problema precisa antes de escolheres entre float (32 bits) e double (64 bits).

Experimenta: codifica $5{,}25$ em precisão simples. (Resposta: $5{,}25 = 101{,}01_2 = 1{,}0101_2 \times 2^2$, logo $s = 0$, $e = 129 = 10000001_2$, mantissa 0101000...0, e o código é 0 10000001 01010000000000000000000.)