Leis de Newton e forças

Um bloco de $2\ \mathrm{kg}$ recebe um empurrão horizontal de $5\ \mathrm N$. Sem atrito, acelera a $5/2=2{,}5\ \mathrm{m/s^2}$. Se a superfície conseguir equilibrar o empurrão com atrito estático, pode continuar parado. Precisamos da resultante das forças sobre o bloco para determinar a aceleração.

Escolhe o corpo antes de desenhar as forças. O empurrão que esse corpo exerce noutro pertence a outro diagrama.

Leis de Newton

Num referencial inercial, um corpo com força resultante nula mantém a velocidade: pode estar parado ou mover-se em linha reta a rapidez constante. Compara o chão com um elevador. No chão, um bloco largado cai na vertical. Num elevador a acelerar para cima, o mesmo bloco parece cair mais depressa. O elevador não é inercial durante a aceleração. Um referencial ligado ao chão pode ser tratado como aproximadamente inercial nestes problemas.

O momento linear de uma partícula é $\vec p=m\vec v$, em $\mathrm{kg\,m/s}$. Para massa constante, a segunda lei é $\sum\vec F=m\vec a$. A massa mede a inércia e a força mede-se em newtons, $1\ \mathrm N=1\ \mathrm{kg\,m/s^2}$. A equação é vetorial, por isso há uma equação por direção independente. A forma $d\vec p/dt=\sum\vec F$ aplica-se ao sistema material escolhido. Sistemas que recebem ou perdem massa exigem contabilizar o momento transportado.

A terceira lei afirma $\vec F_{A\to B}=-\vec F_{B\to A}$. As duas forças atuam em corpos diferentes, por isso não se cancelam no mesmo diagrama. O peso e a normal de um livro não formam um par de ação e reação. A reação ao peso é a força gravítica do livro sobre a Terra; a reação à normal é a força do livro sobre a mesa.

Escolher as forças

Perto da superfície terrestre, o peso é $\vec P=m\vec g$, vertical para baixo. A gravitação entre massas pontuais ou esferas simétricas tem módulo $GmM/r^2$ e é atrativa. $r$ mede a distância entre centros. $g=GM/r^2$ diminui com a distância à Terra.

A normal é perpendicular à superfície de contacto e impede a interpenetração no modelo rígido. A sua intensidade vem das equações, não de uma regra $N=mg$. Um fio ideal, sem massa, inextensível e tenso, transmite uma tensão ao longo do fio. Uma roldana ideal, sem massa e sem atrito, mantém a mesma tensão nos dois lados. A roldana com inércia não tem essa propriedade.

Uma mola ideal exerce $F_x=-kx$, onde $x$ é o alongamento com sinal desde o comprimento natural e $k$ se mede em $\mathrm{N/m}$. Uma resistência linear ao movimento tem forma $\vec F=-b\vec v$ relativamente ao meio. Estes são modelos, válidos apenas no intervalo em que a relação descreve o sistema real.

Atrito estático e cinético

O atrito estático ajusta-se ao valor necessário para impedir o deslizamento relativo, até ao limite

A igualdade vale na iminência de deslizar. O atrito cinético tem módulo aproximado $f_k=\mu_kN$ e opõe-se à velocidade relativa das superfícies. Não se opõe obrigatoriamente à velocidade do centro de massa: numa roda motora pode apontar para a frente.

Um bloco de $2\ \mathrm{kg}$ numa mesa, com $\mu_s=0{,}40$, pode suportar até $0{,}40\times2\times9{,}81=7{,}848\ \mathrm N$ de força horizontal sem deslizar. Se o empurrão for $5\ \mathrm N$, o atrito é $5\ \mathrm N$, não $7{,}848\ \mathrm N$, porque o estático só vale o necessário para equilibrar.

Plano inclinado

Escolhe $x$ ao longo da rampa, positivo para baixo, e $y$ perpendicular. Tomamos $y$ positivo para fora da superfície. Num bloco de massa $m$, o peso tem componentes $mg\sin\theta$ e $-mg\cos\theta$. Sem aceleração perpendicular nem outras forças nessa direção,

Em repouso, o equilíbrio ao longo da rampa exige $f_s=mg\sin\theta$. Como $|f_s|\le\mu_s N$ e $N=mg\cos\theta$, o repouso só é possível quando $mg\sin\theta\le\mu_s mg\cos\theta$, isto é, $\tan\theta\le\mu_s$. Um ângulo maior obriga o bloco a deslizar. Se já desliza para baixo,

Com $m=2\ \mathrm{kg}$, $\theta=30^\circ$, $\mu_s=0{,}40$ e $\mu_k=0{,}25$, temos $N\approx16{,}99\ \mathrm N$. O atrito necessário em repouso seria $9{,}81\ \mathrm N$, mas o máximo estático é $6{,}80\ \mathrm N$. O bloco parte, por isso passamos ao regime cinético. Durante a descida, $f_k\approx4{,}25\ \mathrm N$ e $a\approx2{,}78\ \mathrm{m/s^2}$. A massa cancela na aceleração, porque as duas forças são proporcionais a $m$.

Na demo, uma massa de $2\ \mathrm{kg}$ parte do repouso. Usamos um só coeficiente, $\mu_s=\mu_k=\mu$, para comparar a componente do peso com o atrito disponível. Com $\mu=0{,}40$, prevê o que muda ao passar de $20^\circ$ para $30^\circ$: o limiar é $\arctan(0{,}40)\approx21{,}8^\circ$. As setas são esquemáticas; os valores mostram a intensidade efetiva.

Se o bloco subir a rampa, peso e atrito cinético apontam ambos para baixo. Não reutilizes a equação de descida com o mesmo sinal do atrito, porque o atrito troca de sentido com o deslizamento.

Corpos ligados

Dois corpos de massas $m_1=2\ \mathrm{kg}$ e $m_2=3\ \mathrm{kg}$ pendem dos lados de uma roldana ideal. O fio inextensível obriga os dois módulos da aceleração a serem iguais. Marcamos sentidos positivos separados: para cima em $m_1$ e para baixo em $m_2$. Assim, uma só letra $a$ representa os dois módulos quando o conjunto se move:

Somando as duas equações, a tensão cancela: $(m_2-m_1)g=(m_1+m_2)a$, logo $a=g/5=1{,}962\ \mathrm{m/s^2}$. Substituindo na primeira equação, $T=m_1(g+a)=23{,}544\ \mathrm N$. A tensão é maior que o peso do corpo que sobe e menor que o peso do corpo que desce, porque um acelera para cima e o outro para baixo.

Contacto entre dois blocos

Dois blocos encostados movem-se juntos quando empurrados: aí partilham a mesma aceleração, mas as forças sobre cada um são diferentes. Com massas de $2$ e $3\ \mathrm{kg}$, sem atrito, uma força de $50\ \mathrm N$ sobre o primeiro bloco dá $a=50/(2+3)=10\ \mathrm{m/s^2}$ ao conjunto. Sobre o segundo, a única força horizontal é o contacto, logo $C=3a=30\ \mathrm N$. No primeiro, $50-C=2a$ confirma o mesmo valor. A força que o bloco 1 exerce no bloco 2 é a reação da força que o bloco 2 exerce no bloco 1, e nenhuma delas se cancela dentro de um só diagrama.

Contacto com atrito num dos blocos

Mantém as massas anteriores, mas coloca atrito apenas sob o segundo bloco. O empurrão $F$ continua a atuar horizontalmente no primeiro. Em repouso, o primeiro exige $C=F$ e o segundo exige $f_s=C$. O conjunto pode ficar parado se $F\le\mu_sm_2g$. Só o bloco que tem contacto rugoso contribui para este limite.

Quando ambos deslizam para a direita, o atrito é $\mu_km_2g$ para a esquerda. Somar as equações elimina a força interna de contacto:

Isolando o segundo bloco, $C-\mu_km_2g=m_2a$, logo

A força de contacto não é apenas $m_2a$: tem também de vencer o atrito desse bloco. Uma aceleração negativa pode descrever corpos que ainda deslizam para a direita e abrandam. Nesse caso, confirma também $C\ge0$, porque os blocos encostados podem empurrar-se, mas não puxar-se. Se a conta exigir $C<0$, perde-se o contacto e é preciso resolver cada movimento separadamente.

Aceleração centrípeta

Para um movimento circular,

Segue três passos. Primeiro pergunta que força radial pode existir. Depois calcula o valor máximo dessa força. Só no fim impõe a igualdade com $mv^2/R$. Num carro numa curva horizontal sem inclinação, o atrito fornece essa resultante. Como $N=mg$, o limite sem derrapar é $v_{\mathrm{max}}=\sqrt{\mu_sgR}$. Para $R=50\ \mathrm m$ e $\mu_s=0{,}40$, $v_{\mathrm{max}}=\sqrt{196{,}2}\approx14{,}01\ \mathrm{m/s}$, cerca de $50{,}4\ \mathrm{km/h}$.

No topo de uma volta vertical pelo interior de uma pista, peso e normal apontam para o centro, portanto $mg+N=mv^2/R$. O contacto exige $N\ge0$, logo $v^2\ge gR$. Este limite será usado no problema de energia, porque a energia decide se chegas ao topo com essa rapidez.

Fundo de uma calote

No fundo de uma calote hemisférica, a normal aponta para cima e o peso para baixo, logo $N-mg=mv^2/r$. Depois de uma descida sem atrito desde altura $r$, o balanço de energia dá $v^2=2gr$ e a normal é $N=mg+mv^2/r=3mg$: maior que o peso, porque curva a trajetória para cima. A rapidez aqui vem da energia, tal como no topo da volta; a dinâmica só decide a força de contacto para essa rapidez.

Referenciais acelerados

Num referencial que translada com aceleração $\vec a_\mathrm{ref}$, sem rodar, podemos escrever $m\vec a'=\sum\vec F-m\vec a_\mathrm{ref}$. O termo $-m\vec a_\mathrm{ref}$ é uma força de inércia; não corresponde a uma interação com outro corpo.

Num elevador a acelerar para cima a $2\ \mathrm{m/s^2}$, a equação inercial é $N-mg=ma$, logo uma pessoa de $60\ \mathrm{kg}$ lê $N=708{,}6\ \mathrm N$ numa balança de força. No referencial do elevador a pessoa está parada, mas é preciso acrescentar a força de inércia para baixo. Em queda livre, $a=-g$ e $N=0$, sem que a gravitação desapareça.

Equilíbrio

Uma partícula em equilíbrio exige $\sum\vec F=0$. Duas cordas simétricas, cada uma a $30^\circ$ acima da horizontal, seguram uma massa de $10\ \mathrm{kg}$. As componentes horizontais anulam-se e $2T\sin30^\circ=mg$, logo $T=98{,}1\ \mathrm N$. O ângulo é medido da horizontal, por isso a componente vertical usa seno.

Para um corpo extenso também é necessário anular o torque. Esse equilíbrio é tratado na rotação.