Medir oscilações amortecidas

Três máximos positivos de um sinal de aceleração ocorrem de dois em dois segundos. Os valores diminuem por um fator de $0{,}80$ em cada ciclo. Estes padrões permitem estimar o período e o amortecimento, mas primeiro temos de medir as amplitudes desde a linha de base correta.

O exemplo usa dados sintéticos, com linha de base nula:

As amplitudes estão na mesma unidade da leitura, medidas desde a linha de base.

O que mede o sensor

Uma posição harmónica tem aceleração $\ddot x=-\omega_0^2x$. Num oscilador amortecido, derivar a solução conserva o fator exponencial e a frequência, mas muda a amplitude e a fase. Por isso, picos da aceleração podem permitir estimar o mesmo período e a mesma taxa de decaimento, depois de retirares uma linha de base adequada.

Um acelerómetro parado mede uma aceleração para cima de cerca de $g$, porque assinala a força de contacto que impede a queda. Em queda livre ideal, marcaria zero. O canal bruto pode ter uma linha de base que depende da orientação; uma aplicação que já remove a gravidade pode apresentar outro valor de referência. Rotação do dispositivo, gravidade projetada, movimento do suporte e seleção do canal podem modificar o sinal. Não identifiques uma coluna com a aceleração tangencial do pêndulo sem analisar a orientação e o significado do canal. Guarda os dados originais e as unidades, porque podes precisar de rever essa escolha.

Período e amplitude

Usa máximos do mesmo sinal, medidos relativamente à linha de base. Se os tempos forem $t_0,t_1,\ldots,t_N$, estima $T_d=(t_N-t_0)/N$. Usar vários ciclos reduz o efeito da leitura de cada extremo: se cada tempo tiver uma incerteza de leitura independente, a incerteza do intervalo total cresce mais devagar do que $N$, por isso a incerteza do período médio diminui. Um erro sistemático do relógio não se corrige desta forma. Um máximo positivo e o mínimo seguinte estão separados aproximadamente por meio período.

Nos três picos da tabela, há dois ciclos completos. Temos $T_d=(4-0)/2=2{,}00\ \mathrm s$. Os fatores de decaimento iguais são coerentes com uma envolvente exponencial.

Ajustar o decaimento

A envolvente satisfaz $A(t)=A_0e^{-\gamma t}$. Para dois picos separados por $N$ períodos,

No exemplo, $\gamma=\ln(1/0{,}64)/4\approx0{,}1116\ \mathrm{s^{-1}}$. O decremento por ciclo é $\delta=\ln(1/0{,}80)\approx0{,}2231$. Assim, o tempo para reduzir a amplitude para metade é $\ln2/\gamma\approx6{,}21\ \mathrm s$.

Com muitos picos, aplica o logaritmo à envolvente: $\ln(A_n/A_\mathrm{ref})=-\gamma t_n+\text{constante}$, usando uma amplitude de referência na mesma unidade. O argumento do logaritmo é adimensional. Representa esses logaritmos em função de $t_n$ e ajusta uma reta. Calcula depois os resíduos, isto é, a diferença entre cada ponto e a reta. Resíduos espalhados sem padrão apoiam o modelo linear. Uma curvatura sistemática indica amortecimento não linear ou linha de base errada.

Com $A_\mathrm{ref}=1\ \mathrm{m/s^2}$, os três logaritmos são $0$, $-0{,}2231$ e $-0{,}4463$. Cada intervalo de $2\ \mathrm s$ reduz o logaritmo por $0{,}2231$, portanto o declive é $-0{,}2231/2\approx-0{,}1116\ \mathrm{s^{-1}}$. Estes dados sintéticos dão resíduos nulos antes de arredondar. Numa medição real, o desvio de cada ponto deve ser comparado com a sua incerteza.

Picos próximos do ruído têm incerteza relativa maior. Não os trates como medições tão precisas como os primeiros picos. Com apenas três pontos, como neste exemplo, há pouca informação para distinguir um bom ajuste de uma coincidência.

Comparar dois decaimentos

Um período menor não significa um amortecimento maior. Considera dois pêndulos que partem da mesma amplitude em repouso: o pêndulo A tem $T_d=1{,}0\ \mathrm s$ e perde $10\%$ de amplitude por ciclo; o B tem $T_d=2{,}0\ \mathrm s$ e perde metade por ciclo. As taxas são $\gamma_A=\ln(1/0{,}90)/1{,}0\approx0{,}105\ \mathrm{s^{-1}}$ e $\gamma_B=\ln2/2{,}0\approx0{,}347\ \mathrm{s^{-1}}$.

O pêndulo A é mais curto, $\ell_A=g(T_d/2\pi)^2\approx0{,}25\ \mathrm m$ contra $\ell_B\approx0{,}99\ \mathrm m$, mas o seu amortecimento é menor: a meia amplitude demora cerca de $6{,}6\ \mathrm s$ em A e $2{,}0\ \mathrm s$ em B. Esta é a comparação que o exame de recurso de 26 de junho de 2023 testa ao contrário: o pêndulo com período menor pode ser o que decai mais devagar. Lê o período na posição dos picos e o amortecimento na envolvente, sem misturar as duas leituras.

Frequência natural e comprimento

Do período medido obtemos $\omega_d=2\pi/T_d$. Para amortecimento linear subcrítico,

Aqui, $\omega_d=\pi\ \mathrm{rad/s}$ e $\omega_0\approx3{,}1436\ \mathrm{rad/s}$. Portanto $\tau\approx4{,}481\ \mathrm s$ e $Q\approx14{,}09$. Este $\tau$ corresponde ao decaimento médio da energia; a constante de tempo da amplitude é $1/\gamma=2\tau$.

Se o sistema for um pêndulo simples de pequenos ângulos, o comprimento equivalente é $\ell=g/\omega_0^2\approx0{,}993\ \mathrm m$. A aproximação que despreza o amortecimento dá $\ell=g(T_d/2\pi)^2\approx0{,}994\ \mathrm m$. A diferença pequena é coerente com amortecimento fraco. Num dispositivo extenso suspenso por fios, as dimensões e a inércia podem exigir um pêndulo físico; não compares com o comprimento de um fio sem essa análise.

Incerteza e conclusão

Se o modelo de pêndulo simples valer e o amortecimento for desprezável, $\ell=gT^2/(4\pi^2)$. Para pequenas incertezas e $g$ fixo, $\Delta\ell/\ell\approx2\Delta T/T$. Uma incerteza de $0{,}02\ \mathrm s$ num período de $2{,}00\ \mathrm s$ produz cerca de $2\%$ no comprimento inferido. Escreve o resultado com a mesma casa decimal no valor e na incerteza e com um ou dois algarismos significativos na incerteza. A propagação só contabiliza a incerteza do período neste modelo. Uma escolha incorreta da geometria não é corrigida por diminuir essa incerteza.

Prevê e verifica: com $\gamma\approx0{,}1116\ \mathrm{s^{-1}}$, a meia amplitude é $\ln2/\gamma\approx6{,}21\ \mathrm s$, cerca de três períodos. Verifica se os picos observados estão perto dessa previsão dentro da incerteza.

Ao concluir, apresenta o intervalo de dados, o número de ciclos, as unidades, o método de estimativa e os resíduos. Compara a previsão de meia amplitude com os picos observados. Uma concordância dentro da incerteza apoia o modelo nesse intervalo, mas não prova que ele descreve todos os regimes ou amplitudes. Uma discrepância pode vir da geometria, de resistência não linear, de erro temporal ou do canal escolhido. Indica que causas verificaste e que hipóteses ainda precisam de outra medição.