Frequência e amostragem

Se a entrada de um SLIT for a sinusoide $e^{j\omega t}$, a saída é a mesma sinusoide multiplicada pela resposta em frequência $H(\omega)$, um número complexo que depende só de $\omega$. Todo o comportamento do sistema fica contido numa função de uma variável: o módulo $|H|$ diz quanto passa a cada frequência, o argumento diz o atraso de fase. É esta curva que desenhas quando caracterizas um filtro, e é ela que decide que frequências sobrevivem até à amostragem.

Resposta em frequência do RC

Para o filtro RC passa-baixo da página anterior, com saída no condensador, o divisor de tensão em fasores dá

Em $\omega = 0$ passa tudo ($|H| = 1$); quando $\omega \to \infty$ passa zero. A frequência de corte $f_c = 1/(2\pi RC)$ marca $|H| = 1/\sqrt{2} \approx 0{,}707$, a meia potência. Abaixo dela o sinal passa quase intacto, acima é atenuado a cerca de dez vezes por década de frequência.

O gráfico compara as duas montagens gémeas com os mesmos $R$ e $C$: o passa-baixo (saída no condensador) e o passa-alto (saída na resistência, $|H| = \omega RC/\sqrt{1 + (\omega RC)^2}$). Cruzam-se no corte, onde ambos valem $0{,}707$.

Com $R = 1{,}0\ \text{k}\Omega$ e $C = 1{,}0\ \mu\text{F}$, $f_c = 1/(2\pi \times 10^{-3}) \approx 159{,}15\ \text{Hz}$. Corre o programa e confirma a saída: 0.954, 0.707 e 0.303.

import math
R = 1000.0
C = 1e-6
fc = 1 / (2 * math.pi * R * C)
for f in (50.0, 159.15, 500.0):
  h = 1 / math.hypot(1.0, 2 * math.pi * f * R * C)
  print(f"{f:6.1f} Hz -> |H| = {h:.3f}")

Aos $50\ \text{Hz}$ passam $95\%$, no corte $71\%$ como previsto, e aos $500\ \text{Hz}$ sobram $30\%$.

Amostragem e Nyquist

Medir um sinal contínuo em instantes espaçados de $T_s$ é amostrar à frequência $f_s = 1/T_s$, produzindo a sequência $x[n] = x(nT_s)$. O teorema de Nyquist fixa o limite: para reconstruir um sinal com frequência máxima $f_{\text{máx}}$ precisas de $f_s > 2f_{\text{máx}}$. Amostrar devagar não dá um sinal “menos nítido”, dá um sinal errado. A reconstrução exata exige ainda filtrar antes de amostrar (nada acima de $f_s/2$ à entrada) e interpolar depois com o filtro ideal; sem estas duas guardas, a sequência sozinha não chega.

Porquê? Amostrar multiplica o espectro em cópias espaçadas de $f_s$. Se $f_s$ for pequena, as cópias sobrepõem-se e as frequências altas dobram-se sobre as baixas: é o aliasing. Uma sinusoide de frequência $f$ amostrada a $f_s$ (com $f$ entre $f_s/2$ e $f_s$) aparece como frequência $|f - f_s|$. O filtro anti-aliasing antes do conversor existe exatamente para matar as altas frequências antes que elas se disfarcem de baixas.

Exemplo: sinusoide dobrada

Uma sinusoide de $3{,}0\ \text{kHz}$ amostrada a $f_s = 5{,}0\ \text{kHz}$. A frequência de Nyquist é $f_s/2 = 2{,}5\ \text{kHz}$, e $3{,}0 > 2{,}5$: há aliasing. A frequência aparente é $|3{,}0 - 5{,}0| = 2{,}0\ \text{kHz}$. No computador vês uma sinusoide perfeita de $2{,}0\ \text{kHz}$, indistinguível de uma original, e nenhum processamento posterior a desmascara. A cura seria amostrar acima de $6{,}0\ \text{kHz}$, ou filtrar tudo acima de $2{,}5\ \text{kHz}$ antes de amostrar. É por isto que o áudio de CD usa $44{,}1\ \text{kHz}$ para $20\ \text{kHz}$ audíveis: margem para o filtro anti-aliasing real, que nunca corta a pique.

Ver também

Amostragem e aliasing explicados com animações de espetros sobrepostos:

Sampling, Aliasing and Nyquist TheoremCarregar vídeo do YouTube

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Para saber mais

• Amostragem e aliasing com figuras de espetros: a sobreposição das cópias do espectro desenhada passo a passo.
• Demonstração de amostragem e resposta em frequência do MIT: aliasing audível e resposta de filtros em exemplos reais.

Para onde ir

Fecha o arco da cadeira: o campo gerou a onda, a onda confinou-se em circuito, o circuito virou sistema, e o sistema entrega amostras prontas a processar. Volta à apresentação para rever o mapa, e treina cada passagem com números antes do mini-teste.