Leis de Newton e forças

A cinemática descreve o movimento. As leis de Newton explicam-no: ligam a aceleração de um corpo às forças que atuam sobre ele. Uma força é uma interação, medida em newtons ($\text{N}$), que empurra ou puxa um corpo numa direção.

As três leis

A primeira lei (inércia) diz que um corpo mantém a sua velocidade, incluindo o repouso, quando a resultante das forças sobre ele é nula. É por isso que o estudo do movimento começa por somar vetorialmente todas as forças.

A segunda lei quantifica a relação entre força e movimento:

A soma é vetorial e abrange todas as forças aplicadas ao corpo. A massa $m$, em quilogramas, mede a resistência do corpo a mudar de velocidade.

A terceira lei (ação e reação) diz que, se o corpo A exerce uma força sobre o corpo B, então B exerce sobre A uma força simétrica, com o mesmo módulo, a mesma direção e sentido oposto. As duas forças atuam em corpos diferentes, por isso nunca se cancelam no diagrama de um só corpo.

Tipos de força

As forças que vais encontrar nestas páginas são poucas:

• Peso: $\vec{P} = m\vec{g}$, vertical e para baixo, com $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$. Atua sempre.
• Normal $\vec{N}$: força de contacto perpendicular à superfície, que impede a interpenetração. O seu módulo ajusta-se à situação, não é $mg$ por decreto.
• Atrito: opõe-se ao deslizamento (ou à sua tendência) e é paralelo à superfície. O atrito estático tem um máximo $\mu_s N$; o atrito cinético vale aproximadamente $\mu_c N$ enquanto houver deslizamento.
• Elástica: numa mola ideal, $\vec{F} = -k\vec{x}$, proporcional à deformação e oposta a ela, com $k$ em $\text{N/m}$.

Diagramas de corpo livre

Antes de qualquer equação, isola mentalmente o corpo e desenha todas as forças com origem nele, indicando direção e sentido. Só depois escolhe eixos e decompõe cada força em componentes. Este hábito é a técnica de estudo central da cadeira, como explicado na apresentação.

Equilíbrio estático

Um corpo em repouso permanente tem aceleração nula, logo a segunda lei reduz-se a

Isto dá uma equação por direção. Um candeeiro pendurado por um fio, por exemplo, tem tensão para cima e peso para baixo, logo $T = mg$. O equilíbrio estático é o caso mais simples, e é o teste de sanidade das equações: se a tua fórmula para a aceleração não dá zero quando esperas repouso, algo está mal.

Num corpo extenso há uma segunda condição: a soma dos torques também tem de ser nula, senão o corpo roda mesmo parado no centro. Toma uma barra uniforme de $M = 4{,}0\ \text{kg}$ e $L = 2{,}0\ \text{m}$, articulada numa extremidade e segura na horizontal por um fio vertical na outra. Os torques calculam-se em relação à articulação: o peso atua a $L/2$ e a tensão a $L$. Então $T \times L - Mg \times L/2 = 0$, logo $T = Mg/2 = 4{,}0 \times 9{,}8/2 = 19{,}6\ \text{N}$. A soma das forças dá depois a reação na articulação, $N = Mg - T = 19{,}6\ \text{N}$. Sem a condição dos torques, a tensão ficava indeterminada.

Exemplo completo: plano inclinado com atrito

Um bloco de massa $m = 5{,}0\ \text{kg}$ desce um plano inclinado de ângulo $\theta = 30^{\circ}$. Os coeficientes de atrito entre o bloco e o plano são $\mu_s = 0{,}40$ (estático) e $\mu_c = 0{,}20$ (cinético). Queremos saber se o bloco desliza e, nesse caso, com que aceleração.

O diagrama de corpo livre do bloco tem três forças: o peso $m\vec{g}$ vertical para baixo, a normal $\vec{N}$ perpendicular ao plano e o atrito paralelo ao plano, oposto ao movimento. Escolhemos eixos ao longo do plano ($x$, para baixo) e perpendicular ($y$, para fora). As componentes do peso são $mg\sin\theta$ ao longo do plano e $mg\cos\theta$ contra o plano.

Compara cada seta do desenho com a tua lista de forças antes de continuares: peso, um contacto (normal mais atrito) e nada mais.

Na direção $y$ não há movimento, logo $N = mg\cos\theta$. Com os números, $N = 5{,}0 \times 9{,}8 \times \cos 30^{\circ} \approx 49 \times 0{,}8660 \approx 42{,}4\ \text{N}$.

Antes de supor movimento, testa o repouso: a força que puxa o bloco plano abaixo é $mg\sin\theta = 49 \times 0{,}50 = 24{,}5\ \text{N}$, e o atrito estático máximo é $\mu_s N = 0{,}40 \times 42{,}4 \approx 17{,}0\ \text{N}$. Como $24{,}5 > 17{,}0$, o atrito estático não segura o bloco e ele desliza. (Em geral, o deslizamento começa quando $\tan\theta > \mu_s$, porque $mg\sin\theta > \mu_s mg\cos\theta$ simplifica para isso.)

Com o bloco a deslizar, o atrito passa a cinético: $f = \mu_c N = 0{,}20 \times 42{,}4 \approx 8{,}5\ \text{N}$, dirigido plano acima. A segunda lei na direção $x$ dá

Substituindo, $a = 9{,}8 \times 0{,}50 - 0{,}20 \times 9{,}8 \times 0{,}8660 \approx 4{,}90 - 1{,}70 \approx 3{,}2\ \text{m/s}^2$, dirigida plano abaixo. Como verificação, sem atrito daria $g\sin\theta = 4{,}9\ \text{m/s}^2$ e com atrito suficiente para travar ($\mu_c = \tan 30^{\circ} \approx 0{,}58$) daria zero. O nosso $3{,}2\ \text{m/s}^2$ fica entre os dois, como esperado.

import math
g, t = 9.8, math.radians(30)
for mu in (0.0, 0.1, 0.2, 0.3):
    a = g * (math.sin(t) - mu * math.cos(t))
    print(f"mu_c = {mu:.1f} -> a = {a:.2f} m/s^2")

O programa imprime a aceleração para quatro valores de atrito, de 4.90 sem atrito a 2.35 com $\mu_c = 0{,}30$. O valor $3{,}20$ confirma o cálculo à mão. Repara que a fórmula só vale enquanto o bloco desliza: com atrito a mais, ele nem sai do repouso e a conta certa é a do teste de deslizamento.

Para onde ir

Forças e acelerações contam a história instante a instante. O trabalho e a energia contam a mesma história de outra forma, muitas vezes com menos contas.

As três leis de Newton com demonstrações (Walter Lewin, MIT 8.01)Carregar vídeo do YouTube

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A aula mostra as três leis a funcionar com pêndulos, carrinhos e um fato de testes à prova de força centrípeta. Vê-a depois de resolveres o plano inclinado: cada demonstração é um diagrama de corpo livre em movimento.

Para saber mais

• PhET: Forças e movimento: aplica forças a uma caixa, liga o atrito e confirma os teus diagramas antes de fazeres contas.