# Leis de Newton e forças As três leis, tipos de força, diagramas de corpo livre, equilíbrio estático e o plano inclinado com atrito resolvido. Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/leis-newton/ A [cinemática](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/cinematica/) descreve o movimento. As leis de Newton explicam-no: ligam a aceleração de um corpo às **forças** que atuam sobre ele. Uma força é uma interação, medida em newtons ($\text{N}$), que empurra ou puxa um corpo numa direção. ## As três leis A **primeira lei** (inércia) diz que um corpo mantém a sua velocidade, incluindo o repouso, quando a resultante das forças sobre ele é nula. É por isso que o estudo do movimento começa por somar vetorialmente todas as forças. A **segunda lei** quantifica a relação entre força e movimento: $$ \sum \vec{F} = m\vec{a}. $$ A soma é vetorial e abrange todas as forças aplicadas ao corpo. A massa $m$, em quilogramas, mede a resistência do corpo a mudar de velocidade. A **terceira lei** (ação e reação) diz que, se o corpo A exerce uma força sobre o corpo B, então B exerce sobre A uma força simétrica, com o mesmo módulo, a mesma direção e sentido oposto. As duas forças atuam em corpos diferentes, por isso nunca se cancelam no diagrama de um só corpo. ## Tipos de força As forças que vais encontrar nestas páginas são poucas: * **Peso**: $\vec{P} = m\vec{g}$, vertical e para baixo, com $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$. Atua sempre. * **Normal** $\vec{N}$: força de contacto perpendicular à superfície, que impede a interpenetração. O seu módulo ajusta-se à situação, não é $mg$ por decreto. * **Atrito**: opõe-se ao deslizamento (ou à sua tendência) e é paralelo à superfície. O atrito estático tem um máximo $\mu_s N$; o atrito cinético vale aproximadamente $\mu_c N$ enquanto houver deslizamento. * **Elástica**: numa mola ideal, $\vec{F} = -k\vec{x}$, proporcional à deformação e oposta a ela, com $k$ em $\text{N/m}$. ## Diagramas de corpo livre Antes de qualquer equação, isola mentalmente o corpo e desenha todas as forças com origem nele, indicando direção e sentido. Só depois escolhe eixos e decompõe cada força em componentes. Este hábito é a técnica de estudo central da cadeira, como explicado na [apresentação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/leis-newton/index/). Como não esquecer forças Percorre esta lista para cada corpo: peso (sempre), contactos (uma normal por superfície, mais atrito se houver), molas ou fios (tensão ao longo do fio). Descreve cada força em palavras, por exemplo “normal do plano sobre o bloco, perpendicular ao plano”. Se não consegues dizer quem exerce a força sobre o corpo, ela provavelmente não existe. ## Equilíbrio estático Um corpo em repouso permanente tem aceleração nula, logo a segunda lei reduz-se a $$ \sum \vec{F} = \vec{0}. $$ Isto dá uma equação por direção. Um candeeiro pendurado por um fio, por exemplo, tem tensão para cima e peso para baixo, logo $T = mg$. O equilíbrio estático é o caso mais simples, e é o teste de sanidade das equações: se a tua fórmula para a aceleração não dá zero quando esperas repouso, algo está mal. Num corpo extenso há uma segunda condição: a soma dos torques também tem de ser nula, senão o corpo roda mesmo parado no centro. Toma uma barra uniforme de $M = 4{,}0\ \text{kg}$ e $L = 2{,}0\ \text{m}$, articulada numa extremidade e segura na horizontal por um fio vertical na outra. Os torques calculam-se em relação à articulação: o peso atua a $L/2$ e a tensão a $L$. Então $T \times L - Mg \times L/2 = 0$, logo $T = Mg/2 = 4{,}0 \times 9{,}8/2 = 19{,}6\ \text{N}$. A soma das forças dá depois a reação na articulação, $N = Mg - T = 19{,}6\ \text{N}$. Sem a condição dos torques, a tensão ficava indeterminada. ## Exemplo completo: plano inclinado com atrito Um bloco de massa $m = 5{,}0\ \text{kg}$ desce um plano inclinado de ângulo $\theta = 30^{\circ}$. Os coeficientes de atrito entre o bloco e o plano são $\mu_s = 0{,}40$ (estático) e $\mu_c = 0{,}20$ (cinético). Queremos saber se o bloco desliza e, nesse caso, com que aceleração. O diagrama de corpo livre do bloco tem três forças: o peso $m\vec{g}$ vertical para baixo, a normal $\vec{N}$ perpendicular ao plano e o atrito paralelo ao plano, oposto ao movimento. Escolhemos eixos ao longo do plano ($x$, para baixo) e perpendicular ($y$, para fora). As componentes do peso são $mg\sin\theta$ ao longo do plano e $mg\cos\theta$ contra o plano. ![Bloco num plano inclinado de 30 graus com o peso vertical, a normal perpendicular à rampa, o atrito paralelo à rampa para cima e os eixos x ao longo do plano e y perpendicular.](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/leis-newton/figura-1.svg) Compara cada seta do desenho com a tua lista de forças antes de continuares: peso, um contacto (normal mais atrito) e nada mais. Na direção $y$ não há movimento, logo $N = mg\cos\theta$. Com os números, $N = 5{,}0 \times 9{,}8 \times \cos 30^{\circ} \approx 49 \times 0{,}8660 \approx 42{,}4\ \text{N}$. Antes de supor movimento, testa o repouso: a força que puxa o bloco plano abaixo é $mg\sin\theta = 49 \times 0{,}50 = 24{,}5\ \text{N}$, e o atrito estático máximo é $\mu_s N = 0{,}40 \times 42{,}4 \approx 17{,}0\ \text{N}$. Como $24{,}5 > 17{,}0$, o atrito estático não segura o bloco e ele desliza. (Em geral, o deslizamento começa quando $\tan\theta > \mu_s$, porque $mg\sin\theta > \mu_s mg\cos\theta$ simplifica para isso.) Com o bloco a deslizar, o atrito passa a cinético: $f = \mu_c N = 0{,}20 \times 42{,}4 \approx 8{,}5\ \text{N}$, dirigido plano acima. A segunda lei na direção $x$ dá $$ mg\sin\theta - f = ma, \qquad a = g\sin\theta - \mu_c g\cos\theta. $$ Substituindo, $a = 9{,}8 \times 0{,}50 - 0{,}20 \times 9{,}8 \times 0{,}8660 \approx 4{,}90 - 1{,}70 \approx 3{,}2\ \text{m/s}^2$, dirigida plano abaixo. Como verificação, sem atrito daria $g\sin\theta = 4{,}9\ \text{m/s}^2$ e com atrito suficiente para travar ($\mu_c = \tan 30^{\circ} \approx 0{,}58$) daria zero. O nosso $3{,}2\ \text{m/s}^2$ fica entre os dois, como esperado. A escolha usada acima: o movimento dá-se só em $x$, por isso $a_y = 0$ e a normal sai direta, $N = mg\cos\theta$. É a escolha mais curta sempre que o corpo desliza ao longo de uma superfície fixa. Com $x$ horizontal e $y$ vertical, a aceleração tem duas componentes, $a_x = a\cos\theta$ e $a_y = -a\sin\theta$, e a normal aparece misturada nas duas equações. Compensa quando há várias superfícies com inclinações diferentes, porque os mesmos eixos servem para todos os corpos. ```python import math g, t = 9.8, math.radians(30) for mu in (0.0, 0.1, 0.2, 0.3): a = g * (math.sin(t) - mu * math.cos(t)) print(f"mu_c = {mu:.1f} -> a = {a:.2f} m/s^2") ``` O programa imprime a aceleração para quatro valores de atrito, de `4.90` sem atrito a `2.35` com $\mu_c = 0{,}30$. O valor $3{,}20$ confirma o cálculo à mão. Repara que a fórmula só vale enquanto o bloco desliza: com atrito a mais, ele nem sai do repouso e a conta certa é a do teste de deslizamento. Os pares ação e reação não se cancelam O bloco puxa a Terra para cima com uma força simétrica ao seu peso, e empurra o plano com uma força simétrica à normal. Nenhuma destas entra no diagrama do bloco, porque atuam noutros corpos. Misturá-las no mesmo somatório é o erro mais comum desta página. ## Para onde ir Forças e acelerações contam a história instante a instante. O [trabalho e a energia](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/trabalho-energia/) contam a mesma história de outra forma, muitas vezes com menos contas. [Vídeo: As três leis de Newton com demonstrações (Walter Lewin, MIT 8.01)](https://www.youtube.com/watch?v=Xuj8iPVu7q0) A miniatura vem do YouTube. O vídeo só carrega quando clicas. [Abrir no YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=Xuj8iPVu7q0) A aula mostra as três leis a funcionar com pêndulos, carrinhos e um fato de testes à prova de força centrípeta. Vê-a depois de resolveres o plano inclinado: cada demonstração é um diagrama de corpo livre em movimento. ## Para saber mais * [PhET: Forças e movimento](https://phet.colorado.edu/en/simulations/forces-and-motion-basics): aplica forças a uma caixa, liga o atrito e confirma os teus diagramas antes de fazeres contas.