Experimentar uma transformação

Uma matriz pode esticar ou achatar uma figura, e pode inverter a sua orientação. Vamos alterar quatro números e observar o efeito no quadrado unitário, com vértices $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$ e $(0,1)$.

Da matriz ao desenho

Usamos vetores coluna e a transformação linear $T(x,y)=A(x,y)^T$, sem translação:

$$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, \qquad T(x,y)=(ax+by,cx+dy).$$

As colunas dizem para onde vão os vetores $e_1=(1,0)$ e $e_2=(0,1)$. Temos $T(e_1)=(a,c)$ e $T(e_2)=(b,d)$. Como a transformação é linear, o vértice $(1,1)$ vai para a soma $(a+b,c+d)$. A origem fica na origem.

Na matriz inicial, $a=2$, $b=1$, $c=0$ e $d=3$. A imagem tem vértices $(0,0)$, $(2,0)$, $(3,3)$ e $(1,3)$. A base do paralelogramo mede 2 e a altura mede 3, por isso a área é $2\times3=6$.

O quadrado tracejado conserva a área 1. A figura preenchida mostra a imagem. O eixo horizontal cresce para a direita e o vertical para cima. O desenho ajusta a escala para caber; compara a imagem com o quadrado tracejado, não com o tamanho do bloco no ecrã. Os controlos aceitam inteiros entre −8 e 8 para manter a experiência pequena; a fórmula também vale para entradas reais.

Área e orientação

O determinante é $\det(A)=ad-bc$. O seu valor absoluto é o fator pelo qual a transformação multiplica áreas. Como partimos de uma área igual a 1, a área da imagem é $|\det(A)|$.

O sinal descreve a orientação. Se percorreres os vértices do quadrado na ordem indicada, vais no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Um determinante positivo mantém esse sentido; um negativo inverte-o. Se for zero, a imagem fica numa reta ou num ponto, sem área nem orientação no plano.

Experimenta estas mudanças e prevê o resultado antes de olhar para o desenho:

• Mantém $a=2$, $c=0$ e $d=3$, e muda apenas $b$. O paralelogramo inclina-se, mas a base e a altura não mudam. O determinante continua a ser $2\times3-b\times0=6$.
• Muda $d$ para $0$. A imagem fica no eixo horizontal porque a segunda coordenada de todos os pontos passa a ser zero. O determinante também é zero.
• Muda $d$ para $-3$. O determinante passa a $-6$. A área continua a ser 6, mas a orientação inverte-se.

Usa Repor matriz para regressar ao primeiro paralelogramo.

Preparar uma demo

Esta experiência mostra a matéria, não um editor da implementação web. O componente próprio usa SVG e InteractiveDemo, que mantém os controlos fora da pesquisa e das anotações. Sem JavaScript, o desenho e o resultado iniciais continuam visíveis.

Consulta o guia de contribuição para criar uma demo semelhante. Quando alterar o código for o objetivo da aprendizagem, usa antes os exemplos executáveis.