Filas finitas e redes de Jackson

M/M/1/B

• B é a capacidade total, incluindo serviço. «Um buffer» como um lugar total dá $B=1$; como espera além do servidor dá $B=2$.
• Para $\rho\ne1$: $p_n=(1-\rho)\rho^n/(1-\rho^{B+1})$. Para $\rho=1$: $p_n=1/(B+1)$.
• Bloqueio $p_B$; admitida $\lambda_e=\lambda(1-p_B)$; $T=N/\lambda_e$.
• Fila finita admite distribuição estacionária mesmo com $\lambda\ge\mu$; o excesso vira bloqueio.

Dimensionar buffers

• Carga aqui é a razão oferecida. Com tráfego em bits/s e B em pacotes, mudar o comprimento não muda $\rho$ nem o bloqueio, mas muda a memória em bytes.
• Sobrecarga sustentada ($\rho>1$): o bloqueio tende a $1-1/\rho$. Mais memória adia a perda, não transmite o excesso.

Sinais a partir da ocupação

• $P(N=0)=1-\rho$. Ocioso 20% com $\lambda=360$/s dá $\rho=0{,}8$, $\mu=450$/s.
• Cauda geométrica no sistema: $P(N\ge k)=\rho^k$. «Três em espera» é $P(N\ge4)=\rho^4$.

Séries e Jackson

• Saída de M/D/1 não é Poisson; conservar comprimentos correlaciona chegadas e serviços. Kleinrock aproxima independência com mistura de tráfego.
• Jackson aberta: chegadas externas Poisson, serviço exponencial por nó, encaminhamento com probabilidades fixas, filas infinitas.

$$\lambda_i=\gamma_i+\sum_j\lambda_jp_{ji}.$$

• Resolve taxas, confirma $\lambda_i/\mu_i<1$ em cada nó, soma $N$ e divide pela taxa externa para o tempo global.
• Exemplo: $\gamma_A=40$/s, metade de A para B, um quarto de B volta a A. $\lambda_A=40/0{,}875\approx45{,}7$, $\lambda_B\approx22{,}9$.