# Qui-quadrado e testes não paramétricos

Testes de ajustamento, homogeneidade e independência pelo qui-quadrado, com uma tabela de contingência resolvida.

Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/qui-quadrado/

Os testes $t$ comparam médias de dados numéricos. Mas e perguntas como “o dispositivo influencia a conversão?” ou “estes dados seguem uma binomial?”. Quando os dados são **qualitativos** (contagens em categorias), a estatística de trabalho é o **qui-quadrado**, que compara frequências observadas com frequências esperadas sob a hipótese.

## A estatística qui-quadrado

Para categorias $i = 1, \dots, k$ com contagens observadas $O_i$ e contadas esperadas $E_i$ sob $H_0$:

$$
\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}.
$$

Cada parcela é o desvio ao quadrado relativizado pelo tamanho esperado: um desvio de 12 pesa mais quando esperavas 38 do que quando esperavas 57. Sob $H_0$ esta estatística segue aproximadamente uma distribuição $\chi^2$ com os graus de liberdade próprios de cada teste. A região crítica é sempre unilateral à direita (valores grandes significam mau ajuste), e a aproximação exige frequências esperadas de pelo menos 5 em (quase) todas as células.

## Três testes, uma fórmula

*   **Ajustamento** (_goodness of fit_): os dados seguem uma distribuição proposta? $H_0$ fixa as probabilidades de cada categoria ($E_i = n\,p_i$), com $k - 1$ graus de liberdade (menos os parâmetros que tiveres de estimar).
*   **Independência**: duas variáveis qualitativas são independentes? Numa tabela $r \times c$, $H_0$ dá $E_{ij} = (\text{total da linha } i \times \text{total da coluna } j)/n$, com $(r-1)(c-1)$ graus de liberdade.
*   **Homogeneidade**: várias populações têm a mesma distribuição da variável? Mesma conta da independência, mas o desenho amostral difere (amostras separadas por população em vez de uma amostra classificada em duas variáveis).

Independência contra homogeneidade no enunciado

A conta é igual, a pergunta muda. Se sortearam 200 utilizadores e classificaram cada um por dispositivo e conversão, é **independência** (uma amostra, duas variáveis). Se sortearam 120 utilizadores de telemóvel e 80 de computador e mediram a conversão em cada grupo, é **homogeneidade** (duas amostras, uma variável). Identifica o desenho antes de escrever $H_0$.

## Exemplo: o dispositivo influencia a conversão?

Duzentos utilizadores classificados por dispositivo e conversão:

|  | Converteu | Não converteu | Total |
| --- | --- | --- | --- |
| Telemóvel | 45 | 75 | 120 |
| Computador | 50 | 30 | 80 |
| Total | 95 | 105 | 200 |

$H_0$: dispositivo e conversão são independentes. As esperadas sob $H_0$: telemóvel e converteu, $120 \times 95/200 = 57$; telemóvel e não, $120 \times 105/200 = 63$; computador e converteu, $80 \times 95/200 = 38$; computador e não, $80 \times 105/200 = 42$. Todas acima de 5, por isso a aproximação vale.

$$
\chi^2 = \frac{(45-57)^2}{57} + \frac{(75-63)^2}{63} + \frac{(50-38)^2}{38} + \frac{(30-42)^2}{42} \approx 2{,}53 + 2{,}29 + 3{,}79 + 3{,}43 = 12{,}03.
$$

Com $(2-1)(2-1) = 1$ grau de liberdade, o valor crítico a 5 por cento é 3,84. Como $12{,}03 > 3{,}84$, **rejeita-se a independência**: os dados dão evidência de que a taxa de conversão depende do dispositivo (no computador, 50 em 80; no telemóvel, 45 em 120). Repara que o teste diz que há associação, não porquê: explicar a causa já é trabalho de produto, não de estatística.

Vê onde mora a diferença: as barras observadas contra as esperadas sob independência.

![Barras lado a lado por célula: observadas contra esperadas. No telemóvel que converteu, observadas 45 contra esperadas 57; no computador que converteu, observadas 50 contra esperadas 38.](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/qui-quadrado/figura-1.svg)

As duas maiores folgas estão nas células de conversão: o telemóvel converte menos do que a independência previa e o computador mais. É essa assimetria que os 12,03 medem.

Confere a conta correndo-a:

```python
obs = [45, 75, 50, 30]
esp = [57, 63, 38, 42]
qui = sum((o - e) ** 2 / e for o, e in zip(obs, esp))
print("qui-quadrado:", round(qui, 2))
```

A mesma conta responde a outra pergunta se o desenho amostral mudar:

Sortearam-se 200 utilizadores e classificou-se cada um por dispositivo e conversão: uma amostra, duas variáveis. $H_0$ diz que são independentes, e os 12,03 com 1 grau de liberdade rejeitam.

Sortearam-se 120 utilizadores de telemóvel e 80 de computador e mediu-se a conversão em cada grupo: duas amostras, uma variável. $H_0$ diz que as distribuições coincidem, e a conta dá os mesmos 12,03 com 1 grau de liberdade: rejeita-se a homogeneidade.

## Exemplo: o dado é equilibrado?

Sessenta lançamentos de um dado dão contagens 8, 12, 9, 11, 7 e 13 para as faces 1 a 6. $H_0$: o dado é equilibrado, logo cada face tem probabilidade $1/6$ e esperadas $E_i = 60 \times 1/6 = 10$.

$\chi^2 = \frac{(8-10)^2}{10} + \frac{(12-10)^2}{10} + \frac{(9-10)^2}{10} + \frac{(11-10)^2}{10} + \frac{(7-10)^2}{10} + \frac{(13-10)^2}{10} = \frac{4+4+1+1+9+9}{10} = 2{,}8.$

Com $6 - 1 = 5$ graus de liberdade, o crítico a 5 por cento é 11,07. Como $2{,}8 < 11{,}07$, **não se rejeita** o equilíbrio: estes desvios cabem no acaso de 60 lançamentos. Repara na diferença para a independência: aqui as esperadas vêm de probabilidades propostas ($E_i = n\,p_i$), não de totais de linhas e colunas.

## A ideia dos testes não paramétricos

Os testes $t$ assumem populações normais (ou amostras grandes pelo Teorema do Limite Central). Quando a amostra é pequena e a normalidade é indefensável, os **testes não paramétricos** dispensam a distribuição: trabalham com ordens (_ranks_) ou sinais em vez dos valores. O teste dos sinais, por exemplo, decide sobre a mediana contando quantas observações ficam acima do valor de referência e comparando com uma binomial de $p = 0{,}5$. Pagam a robustez com menos potência: se a normalidade valer, o $t$ deteta mais. A regra de bolso fecha a cadeira: dados numéricos e condições verificadas, testes paramétricos; o resto, qui-quadrado para categorias e não paramétricos para o resto.

Exemplo do teste dos sinais: 12 diferenças de latência antes e depois de uma mudança, 9 positivas. $H_0$: a mediana das diferenças é zero (a mudança não fez nada), logo cada diferença tem hipótese 1/2 de ser positiva. Sob $H_0$, o número de sinais positivos é $Bin(12;\, 0{,}5)$, e o valor p unilateral é $P(X \ge 9) = (\binom{12}{9} + \binom{12}{10} + \binom{12}{11} + \binom{12}{12})/2^{12} = (220 + 66 + 12 + 1)/4096 = 299/4096 \approx 0{,}073$. Acima de 0,05: **não se rejeita** a mediana nula. Nove em doze parece muito, mas com 12 observações o acaso chega lá 7 por cento das vezes.

## Ver

[Vídeo: Teste do qui-quadrado para associação (independência), Khan Academy](https://www.youtube.com/watch?v=zOvUQWOzTlc)

A miniatura vem do YouTube. O vídeo só carrega quando clicas. [Abrir no YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=zOvUQWOzTlc)