# Amostragem e Teorema do Limite Central

Amostragem aleatória, distribuição da média amostral e a aproximação normal para amostras grandes.

Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/amostragem-limite-central/

Até aqui modelámos populações inteiras. Na prática observas uma **amostra** e queres concluir sobre a **população**. Esta página faz a ponte: o que se pode esperar da média de uma amostra e o teorema que justifica tratar essa média como normal mesmo quando os dados originais não são.

## Amostragem aleatória

Uma **amostra aleatória** $X_1, \dots, X_n$ são $n$ observações independentes da mesma distribuição, a da população com média $\mu$ e variância $\sigma^2$. “Aleatória” aqui tem sentido técnico: cada elemento da população tem a mesma hipótese de entrar, e entrar um não influencia entrar outro. Sem isto, tudo o que se segue colapsa: uma amostra enviesada (só medir o servidor de madrugada) estima a população errada com precisão crescente.

A **média amostral** $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum X_i$ é ela própria uma variável aleatória: cada amostra dá um valor diferente. Tem média $E[\bar{X}] = \mu$ (não tem viés) e variância $Var(\bar{X}) = \sigma^2/n$. O desvio padrão da média, $\sigma/\sqrt{n}$, chama-se **erro padrão** e mede quanto a média de uma amostra salta de amostra para amostra. Duplicar a precisão exige quadruplicar a amostra, porque o erro cai com $\sqrt{n}$.

## Teorema do Limite Central

O resultado central da cadeira: para $n$ grande, a média amostral é aproximadamente normal, **qualquer que seja** a distribuição da população:

$$
\bar{X} \;\dot{\sim}\; N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right).
$$

Regra prática: $n \ge 30$ chega na maioria dos casos[1](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/amostragem-limite-central/#user-content-fn-n30); se a população for muito assimétrica, pede-se mais. Repara no que o teorema não diz: não diz que os dados ficam normais (o histograma da amostra continua com a forma original), diz que a **média** fica normal. É uma afirmação sobre a distribuição amostral da estatística, não sobre os dados.

Vê a convergência a acontecer: a população assimétrica esbate-se nas médias de 5 observações e vira sino nas médias de 100.

![Três histogramas esquemáticos. A população é assimétrica à direita. As médias de amostras de 5 já são mais simétricas. As médias de amostras de 100 formam um sino centrado na média populacional.](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/amostragem-limite-central/figura-1.svg)

O painel do meio é a mensagem toda: não é preciso $n = 100$ para ver a normalização a começar, e $n = 100$ chega para a forma original desaparecer.

Intuição rápida: cada observação é um “empurrão” aleatório em torno de $\mu$; somar muitos empurrões independentes dilui as assimetrias e o total comporta-se como uma soma de muitos efeitos pequenos, que é exatamente o regime da [normal](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/amostragem-limite-central/distribuicoes/). Se a população já for normal, a média é exatamente normal para qualquer $n$, sem aproximação.

## Exemplo: média de 100 medições de latência

A latência de um serviço tem média populacional $\mu = 48$ ms e desvio $\sigma = 12$ ms, com distribuição desconhecida e assimétrica. Recolhem-se $n = 100$ medições. Qual a probabilidade de a média amostral sair mais de 2 ms longe de 48?

Com $n = 100 \ge 30$, o Teorema do Limite Central aplica-se: $\bar{X} \dot{\sim} N(48; 12^2/100)$, ou seja, desvio $\sigma/\sqrt{n} = 12/10 = 1{,}2$ ms. Padronizando a margem:

$$
P(|\bar{X} - 48| > 2) \approx P\left(|Z| > \frac{2}{1{,}2}\right) = P(|Z| > 1{,}67) = 2(1 - \Phi(1{,}67)) \approx 2 \times 0{,}0475 = 0{,}095.
$$

Cerca de 9,5 por cento. Mesmo sem saber a forma da distribuição original, a média de 100 observações comporta-se de forma previsível. E nota a ligação com os [integrais de probabilidades contínuas](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/integral-definido/): a área nas caudas é a resposta, e a padronização é o que permite lê-la na tabela.

Simula a situação para veres o teorema em ação: 2000 amostras de 100 observações de uma população assimétrica com média 48 e desvio 12, contando as médias que saem da margem.

```python
import random, statistics
random.seed(20260909)
medias = [statistics.mean(36 + random.expovariate(1 / 12) for _ in range(100)) for _ in range(2000)]
fora = sum(1 for m in medias if abs(m - 48) > 2)
print("amostras:", len(medias))
print("fracao fora de +-2 ms:", round(fora / len(medias), 4))
```

A saída dá fração 0,095: o mesmo 9,5 por cento da conta com a tabela. A população simulada (exponencial deslocada) não tem nada de normal, e ainda assim as médias obedecem. Muda a semente ou o $n$ e vê a fração mexer-se cada vez menos à medida que $n$ cresce.

## Ver e experimentar

[Vídeo: Mas o que é o Teorema do Limite Central?, 3Blue1Brown](https://www.youtube.com/watch?v=zeJD6dqJ5lo)

A miniatura vem do YouTube. O vídeo só carrega quando clicas. [Abrir no YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=zeJD6dqJ5lo)

## Para saber mais

*   [O artigo do vídeo do Teorema do Limite Central](https://www.3blue1brown.com/lessons/clt/): a versão escrita com as visualizações, para rever ao teu ritmo.
*   [Demonstrador do Teorema do Limite Central](https://elysiatools.com/pt/tools/central-limit-theorem-demonstrator): simulador que mostra as médias amostrais a tender para a normal à medida que $n$ cresce.
*   [Usar o Teorema do Limite Central, OpenStax em português](https://query.libretexts.org/Idioma_Portugues/Livro%3A_Estatisticas_introdutorias_(OpenStax)/07%3A_O_teorema_do_limite_central/7.04%3A_Usando_o_Teorema_do_Limite_Central): exemplos resolvidos de aplicação do teorema.

## Notas de rodapé

1.  O 30 não é um teorema, é uma regra de bolso das tabelas: com $n \ge 30$, a $t$ com $n - 1$ graus já está tão perto da normal que a diferença some no arredondamento, e a aproximação do Teorema do Limite Central costuma bastar para populações com assimetria moderada. Populações muito assimétricas ou com caudas pesadas pedem amostras maiores. [Voltar](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/amostragem-limite-central/#user-content-fnref-n30)