# Sistemas lineares invariantes

Resposta impulsional, convolução e resposta ao escalão, com o filtro RC como exemplo.

Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/sistemas-lti/

Um filtro RC recebe um sinal e devolve outro. Em vez de resolveres uma equação diferencial para cada entrada possível, a teoria de sistemas caracteriza a caixa uma vez (a resposta impulsional) e depois calcula qualquer saída por uma integral (a convolução). Funciona para qualquer sistema **linear e invariante no tempo** (SLIT): a saída de uma soma é a soma das saídas, a saída de uma entrada atrasada é a saída atrasada, e nada muda com o passar do tempo.

## Resposta impulsional

O **impulso unitário** $\delta(t)$ é um pulso infinitamente estreito e alto com área unitária. A **resposta impulsional** $h(t)$ é a saída do sistema quando a entrada é $\delta(t)$ (com o sistema inicialmente em repouso). Ela identifica o sistema: dois SLIT com a mesma $h(t)$ são indistinguíveis por fora.

Para o filtro RC passa-baixo (fonte, $R$ e $C$ em série, saída aos terminais do condensador), a equação é $RC\,dy/dt + y = x$, com $x$ a entrada e $y$ a saída. A resposta impulsional é

$$
h(t) = \frac{1}{\tau}\,e^{-t/\tau}\,u(t), \qquad \tau = RC,
$$

onde $u(t)$ é o escalão unitário ($0$ para $t < 0$, $1$ para $t \geq 0$), que impõe a causalidade: sem entrada passada não há saída presente. Repara que $h(t)$ tem a forma do transitório dos [circuitos reativos](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/circuitos-reativos/), porque é o mesmo circuito a responder ao pulso mais simples possível.

A curva (normalizada) mostra a janela de memória do sistema: passada uma largura de $\tau$, a contribuição do passado caiu para $37\%$ e continua a decair. É esta largura que decide se o sistema é rápido ou lento.

![Curva da resposta impulsional a decair de um até zero, com uma linha vertical em tau a assinalar a largura da janela de memória.](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/sistemas-lti/figura-1.svg)

## Convolução

Qualquer entrada $x(t)$ decompõe-se numa sucessão de impulsos de área $x(\lambda)\,d\lambda$ em cada instante $\lambda$. Por linearidade e invariância, cada um contribui com $x(\lambda)h(t - \lambda)\,d\lambda$ para a saída no instante $t$. Somar todos dá a **integral de convolução**:

$$
y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\lambda)\,h(t - \lambda)\,d\lambda = (x * h)(t).
$$

Lê-se assim: para saber a saída agora, pesas o passado da entrada pela resposta impulsional. Se $h$ decai depressa (τ pequeno), só o passado recente conta e o sistema é rápido; se decai devagar, o sistema tem memória longa e é lento. Em diagrama de blocos, a convolução é a seta entre a entrada e a saída através do sistema.

![Diagrama de blocos: elipse de entrada x de t, caixa do sistema h de t, elipse de saída y de t, com a seta de entrada marcada convolução.](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/sistemas-lti/figura-2.svg)

## Exemplo: resposta do RC ao escalão

Aplica um escalão $x(t) = V_0\,u(t)$ ao filtro RC com $R = 1{,}0\ \text{k}\Omega$, $C = 1{,}0\ \mu\text{F}$ ($\tau = 1{,}0\ \text{ms}$) e $V_0 = 5{,}0\ \text{V}$. Para $t \geq 0$:

$$
y(t) = \int_0^t V_0\,\frac{1}{\tau}e^{-(t-\lambda)/\tau}\,d\lambda.
$$

Com a mudança $s = t - \lambda$, o integral fica $V_0(1 - e^{-t/\tau})$, ou seja

$$
y(t) = V_0\left(1 - e^{-t/\tau}\right)u(t).
$$

É a exponencial de carga que já conheces, agora obtida por convolução em vez de resolver a equação diferencial. Aos $t = 2{,}0\ \text{ms}$ (dois $\tau$): $y = 5{,}0 \times (1 - e^{-2}) = 5{,}0 \times (1 - 0{,}1353) = 5{,}0 \times 0{,}8647 \approx 4{,}32\ \text{V}$. A constante de tempo volta a mandar: a saída atinge $63\%$ em $\tau$, e a convolução mostra porquê, porque $\tau$ é a largura da janela de memória $h(t)$.

O programa abaixo integra a convolução numericamente (regra do ponto médio) em vez de usar a fórmula fechada: a saída deve dar `y(2 ms) = 4.32 V`, igual ao cálculo analítico.

```python
import math
V0 = 5.0
tau = 1e-3
t = 2e-3
dt = 1e-6
n = int(t / dt)
s = 0.0
for k in range(n):
  lam = (k + 0.5) * dt
  s += V0 * (1 / tau) * math.exp(-(t - lam) / tau) * dt
print(f"y(2 ms) = {s:.2f} V")
```

Escolhe o método pelo problema

Uma entrada e condição inicial concretas pedem a equação diferencial direta. Uma família de entradas, ou a pergunta “como depende a saída da memória do sistema”, pede a convolução. Nos testes, a convolução aparece quando o enunciado dá $h(t)$ e pergunta a resposta a um pulso ou escalão.

## Para onde ir

A convolução descreve o sistema no tempo. Aplicada a uma sinusoide, ela reduz-se a multiplicar por um número complexo que depende da frequência: é a [resposta em frequência](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/frequencia-amostragem/), que liga os sistemas aos filtros e à amostragem.