# Regime forçado sinusoidal

Fasores, impedância, ressonância no RLC e potência ativa.

Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/regime-sinusoidal/

Quando a fonte é sinusoidal e o transitório já morreu, todas as tensões e correntes do circuito são sinusoides à mesma frequência, diferindo só em amplitude e fase. Os **fasores** exploram isto: representam cada sinusoide por um número complexo e transformam equações diferenciais em álgebra, exatamente como o método dos nós mas com complexos.

## Fasores e impedância

Uma tensão $v(t) = V_m\cos(\omega t + \phi)$ representa-se pelo fasor $\mathbf{V}$, um número complexo de módulo $V_m$ e argumento $\phi$. Derivar em ordem ao tempo multiplica o fasor por $j\omega$, por isso cada componente ganha uma “resistência complexa”, a **impedância** $\mathbf{Z}$:

*   Resistência: $\mathbf{Z}_R = R$.
*   Bobina: $\mathbf{Z}_L = j\omega L$.
*   Condensador: $\mathbf{Z}_C = 1/(j\omega C) = -j/(\omega C)$.

A lei de Ohm generaliza-se a $\mathbf{V} = \mathbf{Z}\mathbf{I}$, e as leis de Kirchhoff, o divisor de tensão e Thévenin funcionam iguais, com complexos. Nesta cadeira usamos valores eficazes ($V_{\text{ef}} = V_m/\sqrt{2}$) nos fasores salvo indicação contrária[1](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/regime-sinusoidal/#user-content-fn-ef): com eficazes, $P = V_{\text{ef}}I_{\text{ef}}$ dá diretamente a potência em watts.

Repara nos limites: quando $\omega \to 0$, a bobina tende para um curto ($j\omega L \to 0$) e o condensador para um aberto ($1/(j\omega C) \to \infty$); quando $\omega \to \infty$ trocam os papéis. Estes dois casos verificam qualquer expressão de impedância.

## Ressonância no RLC série

Num RLC série, $\mathbf{Z} = R + j(\omega L - 1/(\omega C))$. A parte imaginária anula-se quando

$$
\omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C} \quad\Rightarrow\quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}},
$$

a **frequência de ressonância**, a mesma $\omega_0$ da resposta livre dos [circuitos reativos](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/circuitos-reativos/). Nessa frequência a impedância é mínima ($\mathbf{Z} = R$, puramente resistiva) e a corrente é máxima. É o fenómeno gémeo da ressonância mecânica das [oscilações](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/oscilacoes/): a bobina e o condensador trocam energia entre si e a fonte só repõe o que a resistência dissipa.

## Potência ativa

Com $\mathbf{V}$ e $\mathbf{I}$ eficazes e diferença de fase $\phi = \arg\mathbf{V} - \arg\mathbf{I}$, a potência média (ativa) é

$$
P = V_{\text{ef}}\,I_{\text{ef}}\cos\phi.
$$

Só a resistência consome potência média: na bobina e no condensador ideais, $\phi = \pm 90^{\circ}$ e $\cos\phi = 0$, porque a energia entra metade do ciclo e sai na outra metade. Na ressonância, tensão e corrente estão em fase e toda a potência da fonte acaba em calor na resistência.

## Exemplo: RLC série na ressonância

Sejam $R = 20\ \Omega$, $L = 50\ \text{mH}$, $C = 20\ \mu\text{F}$ e fonte $v_s(t) = 10\sqrt{2}\cos(\omega t)\ \text{V}$ (valor eficaz $10\ \text{V}$) com $\omega = 1000\ \text{rad/s}$.

Primeiro, confirma a ressonância: $\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 1/\sqrt{50 \times 10^{-3} \times 20 \times 10^{-6}} = 1/\sqrt{10^{-6}} = 1000\ \text{rad/s}$. A fonte está exatamente na ressonância. As reatâncias são $X_L = \omega L = 1000 \times 0{,}050 = 50\ \Omega$ e $X_C = 1/(\omega C) = 1/(1000 \times 20 \times 10^{-6}) = 1/0{,}020 = 50\ \Omega$: iguais, como a condição de ressonância exige.

A impedância é $\mathbf{Z} = 20 + j(50 - 50) = 20\ \Omega$. A corrente eficaz é $I_{\text{ef}} = 10/20 = 0{,}50\ \text{A}$, em fase com a fonte. As tensões: $V_R = 0{,}50 \times 20 = 10\ \text{V}$, $V_L = 0{,}50 \times 50 = 25\ \text{V}$, $V_C = 25\ \text{V}$. Repara que $V_L$ e $V_C$ excedem a tensão da fonte: estão em oposição de fase e cancelam-se ($+j25 - j25 = 0$), sobrando os $10\ \text{V}$ da resistência. O diagrama fasorial mostra exatamente isto: $V_R$ em fase com a corrente e $V_L$ contra $V_C$.

![Diagrama fasorial na ressonância: seta horizontal para a tensão na resistência, seta vertical para cima para a tensão na bobina e seta vertical para baixo do mesmo tamanho para a tensão no condensador.](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/regime-sinusoidal/figura-1.svg)

O fator de qualidade é $Q = \omega_0 L/R = 50/20 = 2{,}5$, e $V_L = Q \times V_s = 25\ \text{V}$ confirma. A potência ativa é $P = 10 \times 0{,}50 = 5{,}0\ \text{W}$, toda dissipada em $R$ (confirma: $RI^2 = 20 \times 0{,}25 = 5{,}0\ \text{W}$).

Confirma impedância, corrente e potência correndo o programa: `Z = 20 Ohm, I = 0.50 A, P = 5.0 W`.

```python
Vs = 10.0
R = 20.0
L = 50e-3
C = 20e-6
w = 1000.0
XL = w * L
XC = 1 / (w * C)
Z = complex(R, XL - XC)
I = Vs / abs(Z)
P = Vs * I
print(f"Z = {Z.real:.0f} Ohm, I = {I:.2f} A, P = {P:.1f} W")
```

No laboratório, este é o ensaio clássico: varia a frequência da fonte, mede $V_R$, $V_L$ e $V_C$ com o osciloscópio e localiza a ressonância no pico de $V_R$ (ou de corrente). O cancelamento $V_L \approx V_C$ nessa frequência é a verificação experimental de que as fases estão certas, não só os módulos.

## Medir no laboratório

No ensaio de ressonância, o osciloscópio mostra tensões pico a pico, não eficazes: converte com $V_{\text{ef}} = V_{pp}/(2\sqrt{2})$ antes de comparar com as contas. Três erros típicos estragam a medição: esquecer a atenuação da ponta de prova (se está em $\times 10$, multiplica a leitura por dez), ligar as massas das duas pontas a pontos diferentes (as massas do osciloscópio estão ligadas entre si por dentro e fazem curto) e ler a frequência no mostrador do gerador sem confirmar no ecrã do osciloscópio. Uma ressonância “deslocada” face à conta é quase sempre ponta de prova ou componente com tolerância, não física nova.

Não somes módulos de tensões em CA

$V_R + V_L + V_C = 10 + 25 + 25 = 60\ \text{V}$ não é a tensão da fonte. Em regime sinusoidal somam-se fasores, com fases: aqui $10 + j25 - j25 = 10\ \text{V}$. Somar módulos só funciona para componentes em fase.

## Para onde ir

Viste o circuito como resolvedor de equações a uma frequência. Na próxima página ele passa a sistema: os [sistemas lineares invariantes](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/sistemas-lti/) descrevem a relação entrada-saída para qualquer sinal, não só sinusoides.

## Notas de rodapé

1.  Os osciloscópios e multímetros em CA mostram valores eficazes por omissão; é por isso que a cadeira os usa nos fasores, para a leitura do aparelho entrar direta nas contas. [Voltar](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/regime-sinusoidal/#user-content-fnref-ef)