# Trabalho e energia Trabalho de forças constantes e variáveis, teorema da energia cinética, conservação da energia mecânica e potência. Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/trabalho-energia/ Resolver tudo com $\sum \vec{F} = m\vec{a}$ funciona, mas obriga a acompanhar cada instante. O trabalho e a energia oferecem um atalho: relacionam diretamente velocidades em dois pontos, sem passar pelos detalhes do percurso. É a mesma física das [leis de Newton](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/leis-newton/), vista de outro ângulo. ## Trabalho de uma força O **trabalho** de uma força constante $\vec{F}$ num deslocamento retilíneo $\vec{d}$ é o produto escalar $$ W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd\cos\phi, $$ em joules ($\text{J}$), onde $\phi$ é o ângulo entre a força e o deslocamento. Só a componente ao longo do deslocamento trabalha: uma força perpendicular, como a normal num plano horizontal ou a tensão no movimento circular uniforme, realiza trabalho nulo. Quando a força varia ao longo do trajeto, somam-se as contribuições infinitesimais com um integral, do tipo estudado no [integral definido](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/integral-definido/): $$ W = \int_{x_1}^{x_2} F(x)\,dx. $$ O exemplo clássico é a mola: $F = -kx$ dá $W = -k(x_2^2 - x_1^2)/2$ ao passar de $x_1$ a $x_2$. O sinal negativo indica que a mola resiste ao alongamento. ![Gráfico da força da mola F igual a k x com a área do triângulo entre zero e 0,10 m sombreada: essa área é o trabalho.](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/trabalho-energia/figura-1.svg) Lê o integral como área: para a mola a partir do repouso em $x = 0$, o trabalho até $0{,}10\ \text{m}$ é a área do triângulo, $20 \times 0{,}10/2 = 1{,}0\ \text{J}$, exatamente a energia que aparece no exemplo completo mais abaixo. ## Teorema da energia cinética A **energia cinética** de um ponto material é $K = mv^2/2$. O **teorema da energia cinética** afirma que o trabalho total feito sobre o corpo é exatamente o que a sua energia cinética ganha: $$ W_{\text{total}} = \Delta K = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2. $$ Isto vale sempre, para qualquer força. Um exemplo rápido: um carro de $m = 1000\ \text{kg}$ que trava dos $20\ \text{m/s}$ até parar perde $K = 1000 \times 400/2 = 200\,000\ \text{J}$. Esse é o trabalho que os travões têm de dissipar, e explica porque dobrar a velocidade quadruplica a distância de travagem. ## Energia potencial e conservação Algumas forças permitem definir uma **energia potencial** $U$: o trabalho delas entre dois pontos depende só dos pontos, não do caminho. São as **forças conservativas**. As duas que interessam aqui: * peso (perto da superfície): $U_g = mgh$, com $h$ medido desde uma referência à escolha; * mola ideal: $U_e = kx^2/2$, com $x$ medido desde o comprimento natural. Quando só atuam forças conservativas, a **energia mecânica** $E = K + U$ conserva-se: $E_1 = E_2$. O atrito é o contraexemplo padrão, porque o seu trabalho depende do caminho percorrido e dissipa energia mecânica em calor. ## Exemplo completo: bloco lançado por uma mola Um bloco de $m = 0{,}50\ \text{kg}$ está encostado a uma mola de $k = 200\ \text{N/m}$ comprimida de $x = 0{,}10\ \text{m}$, sobre uma superfície horizontal sem atrito. Ao largar a mola, com que velocidade sai o bloco, e até que altura $h$ sobe se a seguir entrar numa rampa sem atrito? Os dados são $m$, $k$ e $x$; as incógnitas são a velocidade $v$ à saída e a altura $h$. Como não há atrito, a energia mecânica conserva-se e basta comparar três instantes: mola comprimida com bloco parado, bloco livre na horizontal e bloco parado no topo da rampa. Na largada, a energia é toda potencial elástica: $E = kx^2/2 = 200 \times 0{,}10^2/2 = 200 \times 0{,}010/2 = 1{,}0\ \text{J}$. À saída da mola, é toda cinética: $mv^2/2 = 1{,}0$, logo $v^2 = 2 \times 1{,}0/0{,}50 = 4{,}0$ e $v = 2{,}0\ \text{m/s}$. No topo da rampa, é potencial gravítica: $mgh = 1{,}0$, logo $h = 1{,}0/(0{,}50 \times 9{,}8) = 1{,}0/4{,}9 \approx 0{,}20\ \text{m}$. Repara que a massa aparece nos dois lados e, neste caso sem atrito, a altura final nem depende dela: $h = v^2/(2g) = 4{,}0/19{,}6 \approx 0{,}20\ \text{m}$, o mesmo valor. Se houvesse atrito no plano, teríamos de subtrair o trabalho dissipado, e a conservação simples deixaria de valer. É por isso que o enunciado sublinhar “sem atrito” é uma pista, não um detalhe. ```python m, k, x = 0.50, 200.0, 0.10 E = k * x ** 2 / 2 v = (2 * E / m) ** 0.5 h = E / (m * 9.8) print(f"E = {E:.2f} J, v = {v:.2f} m/s, h = {h:.2f} m") ``` O programa refaz as três contas do exemplo e imprime `E = 1.00 J, v = 2.00 m/s, h = 0.20 m`. Muda `x` para `0.20` e confirma que a energia quadruplica: a dependência quadrática aparece logo nos números. De onde vem a conservação Parte do teorema da energia cinética, $W_{\text{total}} = \Delta K$, e separa o trabalho em conservativo e não conservativo. Por definição de potencial, $W_{\text{cons}} = -\Delta U$. Então $-\Delta U + W_{\text{não cons}} = \Delta K$, ou seja, $\Delta(K + U) = W_{\text{não cons}}$. Sem trabalho não conservativo, $K + U$ é constante. Experimenta refazer esta dedução com papel tapado: é o argumento que liga esta página à anterior. ## Potência A **potência** mede a rapidez com que o trabalho é feito, em watts ($\text{W}$): $P = dW/dt$. Para uma força constante com o ponto de aplicação a mover-se a velocidade $\vec{v}$, $$ P = \vec{F} \cdot \vec{v}. $$ Exemplo: um motor que eleva uma carga de $m = 1000\ \text{kg}$ à velocidade constante de $2{,}0\ \text{m/s}$ exerce $F = mg = 9800\ \text{N}$ e debita $P = 9800 \times 2{,}0 = 19\,600\ \text{W}$, ou seja, $19{,}6\ \text{kW}$. A velocidade ser constante diz que a resultante é nula (primeira lei), mas o motor continua a realizar trabalho contra o peso. ## Para onde ir Até aqui tratámos corpos isolados. O passo seguinte junta vários corpos: o [centro de massa e o momento linear](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/centro-massa-momento/). [Vídeo: Trabalho, energia cinética e potencial (Walter Lewin, MIT 8.01x)](https://www.youtube.com/watch?v=9gUdDM6LZGo) A miniatura vem do YouTube. O vídeo só carrega quando clicas. [Abrir no YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=9gUdDM6LZGo) A aula mede trabalho com rampas e pêndulos e mostra a conservação a acontecer. Vê-a depois de resolveres o exemplo da mola: cada medição é uma linha da tabela de energias que fizeste acima.