# Centro de massa e momento linear

Centro de massa de sistemas discretos e contínuos, conservação do momento linear e colisões elásticas e inelásticas.

Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/centro-massa-momento/

Um corpo extenso ou um conjunto de corpos move-se de forma complicada, mas há um ponto que se move de forma simples: o **centro de massa**. E há uma grandeza que, em sistemas isolados, nunca muda: o **momento linear**. Juntas, estas ideias resolvem colisões sem ser preciso conhecer as forças durante o impacto.

## Centro de massa

Para um sistema de partículas com massas $m_i$ nas posições $\vec{r}_i$, o centro de massa é a média pesada pelas massas:

$$
\vec{R} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i}.
$$

Exemplo: duas massas, $m_1 = 2{,}0\ \text{kg}$ em $x_1 = 0$ e $m_2 = 3{,}0\ \text{kg}$ em $x_2 = 5{,}0\ \text{m}$. O centro de massa fica em $x_{\text{CM}} = (2{,}0 \times 0 + 3{,}0 \times 5{,}0)/(2{,}0 + 3{,}0) = 15/5{,}0 = 3{,}0\ \text{m}$, mais perto da massa maior, como esperado.

Para um corpo contínuo, a soma passa a integral sobre a distribuição de massa. Não precisamos do cálculo geral aqui, mas o resultado para os casos simétricos é intuitivo: o centro de massa de uma barra uniforme está no seu ponto médio, e o de um disco uniforme está no seu centro. A simetria localiza o centro de massa sem contas.

Exemplo com integral: uma barra uniforme de massa $M$ e comprimento $L = 2{,}0\ \text{m}$ ao longo do eixo $x$, desde $x = 0$ até $x = L$. A densidade linear é constante, $\lambda = M/L$, e cada fatia $dx$ contribui com $dm = \lambda\,dx$. Então

$$
x_{\text{CM}} = \frac{1}{M}\int_0^L x\,\lambda\,dx = \frac{\lambda}{M}\,\frac{L^2}{2} = \frac{L}{2} = 1{,}0\ \text{m}.
$$

A conta confirma a intuição da simetria, e mostra o método para quando a simetria não chega: escreve $dm$ em função da coordenada e integra.

A propriedade que torna o centro de massa útil: ele move-se como se toda a massa do sistema lá estivesse concentrada e todas as forças externas lá fossem aplicadas, $M\vec{A}_{\text{CM}} = \sum \vec{F}_{\text{ext}}$. As forças internas cancelam-se duas a duas pela terceira lei.

## Momento linear e a sua conservação

O **momento linear** (ou quantidade de movimento) de uma partícula é $\vec{p} = m\vec{v}$, em $\text{kg·m/s}$. A segunda lei escreve-se de forma compacta como $\sum \vec{F} = d\vec{p}/dt$: a força resultante é a taxa de variação do momento.

Num **sistema isolado**, sem forças externas, a variação total é nula e o momento total conserva-se:

$$
\sum \vec{p}_{\text{inicial}} = \sum \vec{p}_{\text{final}}.
$$

Isto vale mesmo quando as forças internas são desconhecidas ou violentas, como numa colisão ou numa explosão. É por isso que a conservação do momento resolve problemas onde a análise força a força seria impossível.

## Colisões em uma dimensão

Considera dois corpos que colidem frontalmente, sem forças externas apreciáveis durante o impacto breve. O momento total conserva-se sempre, mas a energia cinética pode não se conservar:

*   **Colisão elástica**: a energia cinética conserva-se. As velocidades trocam-se de acordo com as massas.
*   **Colisão perfeitamente inelástica**: os corpos seguem juntos após o choque. É a que dissipa mais energia cinética.

Exemplo com números: um carrinho $m_1 = 2{,}0\ \text{kg}$ a $v_1 = 3{,}0\ \text{m/s}$ embate num carrinho parado $m_2 = 1{,}0\ \text{kg}$. O momento inicial é $p = 2{,}0 \times 3{,}0 = 6{,}0\ \text{kg·m/s}$ e a energia cinética inicial é $K = 2{,}0 \times 9{,}0/2 = 9{,}0\ \text{J}$.

![Três esquemas de carrinhos: antes do choque um move-se e o outro está parado; no choque inelástico seguem juntos; no elástico afastam-se com velocidades diferentes.](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/centro-massa-momento/figura-1.svg)

Se a colisão for perfeitamente inelástica, os carrinhos seguem juntos com velocidade $V = p/(m_1 + m_2) = 6{,}0/3{,}0 = 2{,}0\ \text{m/s}$. A energia final é $K' = 3{,}0 \times 4{,}0/2 = 6{,}0\ \text{J}$: perderam-se $3{,}0\ \text{J}$ na deformação.

Se for elástica, impõem-se conservação do momento e da energia, o que dá

$$
v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1, \qquad v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1.
$$

Com os números, $v_1' = (1{,}0/3{,}0) \times 3{,}0 = 1{,}0\ \text{m/s}$ e $v_2' = (4{,}0/3{,}0) \times 3{,}0 = 4{,}0\ \text{m/s}$. Confirma o momento: $2{,}0 \times 1{,}0 + 1{,}0 \times 4{,}0 = 6{,}0\ \text{kg·m/s}$. Confirma a energia: $2{,}0 \times 1{,}0/2 + 1{,}0 \times 16/2 = 1{,}0 + 8{,}0 = 9{,}0\ \text{J}$. Ambas batem certo com os valores iniciais, por isso a resolução está verificada.

![Esquema dos tipos de colisão: o momento conserva-se sempre; com conservação de energia é elástica, com os corpos a seguir juntos é perfeitamente inelástica.](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/centro-massa-momento/figura-2.svg)

```python
m1, v1, m2 = 2.0, 3.0, 1.0
u1 = (m1 - m2) / (m1 + m2) * v1
u2 = 2 * m1 / (m1 + m2) * v1
k0 = m1 * v1 ** 2 / 2
k1 = (m1 * u1 ** 2 + m2 * u2 ** 2) / 2
print(f"v1 = {u1:.2f} m/s, v2 = {u2:.2f} m/s")
print(f"K antes = {k0:.2f} J, K depois = {k1:.2f} J")
```

O programa aplica as fórmulas da colisão elástica e imprime os mesmos valores do exemplo, com o balanço de energia a fechar em $9{,}00\ \text{J}$. Muda `m2` para `2.0` (massas iguais) e confirma que o primeiro carrinho para e o segundo sai com $3{,}0\ \text{m/s}$: é a troca completa de velocidades das massas iguais.

Qual fórmula usar em cada colisão

Perfeitamente inelástica: uma incógnita (a velocidade conjunta) e uma equação (momento). Elástica: duas incógnitas e duas equações (momento mais energia). Se o enunciado não disser nada sobre deformação nem sobre os corpos seguirem juntos, assume elástica apenas quando for explícito. Na dúvida, a conservação do momento é o ponto de partida seguro.

Em duas dimensões, a conservação aplica-se por componentes: o momento total em $x$ conserva-se e o momento total em $y$ conserva-se, independentemente um do outro. É também por isso que o referencial do centro de massa simplifica as colisões: nele o momento total é nulo antes e depois, e cada corpo sai com a mesma rapidez com que entrou (na colisão elástica). O tratamento completo de choques oblíquos fica fora do âmbito destas páginas, mas a regra das componentes resolve qualquer exercício onde uma das direções não tenha impulso externo.

## Para onde ir

O momento linear governa translações. Para rotações existe uma grandeza análoga: o [momento angular](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/rotacao/), na página sobre rotação de corpos rígidos.

[Vídeo: Colisões: experiências e conservação do momento](https://www.youtube.com/watch?v=AXztP7QjWFg)

A miniatura vem do YouTube. O vídeo só carrega quando clicas. [Abrir no YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=AXztP7QjWFg)

O vídeo mostra choques com carrinhos e sensores, incluindo a energia que desaparece nas colisões inelásticas. Vê-o depois de fazeres as contas do exemplo: cada gráfico de velocidade é uma linha da tua tabela de momento e energia.