# Álgebra relacional

Seleção, projeção, junções e conjuntos para formalizar perguntas.

Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/bd/algebra-relacional/

Antes do `SELECT` houve a matemática. A **álgebra relacional** é a linguagem formal de perguntas sobre tabelas: cada operador recebe relações e devolve uma relação, por isso os operadores **encadeiam-se** como funções. Percebê-la é perceber o que cada cláusula do SQL faz, e a cadeira pede-a explicitamente.

## Os operadores essenciais

Sobre uma tabela `Produto(id, nome, preco, stock)`:

*   **Seleção** $\sigma_{cond}(R)$: filtra linhas. $\sigma_{preco > 30}(Produto)$ devolve Teclado e Monitor.
*   **Projeção** $\pi_{cols}(R)$: escolhe colunas. $\pi_{nome, preco}(Produto)$ devolve os três nomes com preços.
*   **Produto cartesiano** $R \times S$: combina cada linha de uma com cada linha da outra.
*   **Junção natural** $R \bowtie S$: combina pelas colunas de nomes iguais, fundindo-as. É o produto cartesiano seguido da igualdade nas colunas comuns, sem as colunas duplicadas.
*   **Junção com condição** $R \bowtie_{cond} S$: combina pelas linhas que satisfazem a condição, mesmo quando as colunas têm nomes diferentes. Com o **operador de renomeação** $\rho$ mudas nomes de colunas para criar colunas comuns quando precisares da junção natural pura.
*   **União** $R \cup S$, **interseção** $R \cap S$ e **diferença** $R - S$: operações de conjuntos, que exigem tabelas compatíveis (mesmas colunas).

A ordem clássica é filtrar antes de juntar: $\sigma$ reduz as linhas, $\bowtie$ combina, $\pi$ corta as colunas no fim.

Cada operador e a sua cláusula SQL:

$\sigma_{cond}(R)$ filtra linhas e é o `WHERE`: $\sigma_{preco > 30}(Produto)$ vira `SELECT * FROM Produto WHERE preco > 30`.

$\pi_{cols}(R)$ escolhe colunas e é a lista do `SELECT`: $\pi_{nome, preco}(Produto)$ vira `SELECT nome, preco FROM Produto`.

$R \bowtie_{cond} S$ é o `JOIN ... ON`: a condição `ON` é a condição da junção. A junção natural pura ($\bowtie$ sem condição) só existe quando há colunas com o mesmo nome.

União, interseção e diferença pedem tabelas compatíveis: em SQL são `UNION`, `INTERSECT` e `EXCEPT`. A diferença $R - S$ (“os clientes sem encomendas”) vira `EXCEPT`.

## Uma pergunta completa

“Nome dos clientes com encomendas em 2026-01-05.” Primeiro filtra as encomendas, junta com os clientes e projeta o nome:

$\pi_{nome}(\sigma_{data = '2026-01-05'}(Encomenda) \bowtie_{idCliente = id} Cliente)$

O encadeamento em figura, da tabela à resposta:

![Encadeamento de operadores: Encomenda passa pela seleção da data, pela junção com Cliente e pela projeção do nome, e devolve Ana.](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/bd/algebra-relacional/figura-1.svg)

Passo a passo com os dados da loja: a seleção deixa só a encomenda 100 (data 2026-01-05, cliente 1). A junção com `Cliente` na condição `idCliente = id` acrescenta a linha da Ana. A projeção final devolve uma tabela de uma coluna e uma linha: `Ana`. Cada operador intermédio é uma tabela válida, e é por isso que podes ler a expressão de dentro para fora a verificar cada etapa.

Junção natural contra junção com condição

Repara que as colunas se chamam `idCliente` num lado e `id` no outro: não há coluna comum, por isso a junção natural pura não se aplica aqui e a condição é explícita.[1](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/bd/algebra-relacional/#user-content-fn-join-condicao) Quando o enunciado disser só $\bowtie$, confirma primeiro os nomes das colunas; se forem diferentes, escreve a condição ou renomeia com $\rho$.

Como traduzir para SQL

Cada operador tem a sua cláusula: $\sigma$ é o `WHERE`, $\pi$ é a lista do `SELECT`, $\bowtie$ é o `JOIN ... ON` ou `USING`, e $-$ é `EXCEPT`. Se souberes escrever a pergunta em álgebra, a página de [consultas SQL](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/bd/algebra-relacional/sql-consultas/) é transcrição quase direta.

## Notas de rodapé

1.  A junção natural combina linhas pelas colunas com nomes iguais. Com `idCliente` e `id`, a junção do exemplo precisa da condição explícita `idCliente = id`; é uma junção com condição (teta-junção), não uma junção natural pura. [Voltar](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/bd/algebra-relacional/#user-content-fnref-join-condicao)