# Produtos escalar, vetorial e misto

Os três produtos em R2 e R3, ângulos, áreas, volumes e ortogonalidade.

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Somar vetores e multiplicar por escalares chega para a álgebra, mas a geometria precisa de medir: comprimentos, ângulos, áreas e volumes. Há três produtos para isso, cada um com o seu papel. O escalar devolve um número e mede ângulos; o vetorial devolve um vetor perpendicular aos dois fatores e mede áreas; o misto combina os dois e mede volumes.

## Produto escalar: ângulos e comprimentos

O **produto escalar** (ou interno usual) de $u = (u_1, \dots, u_n)$ por $v = (v_1, \dots, v_n)$ é

$$
u \cdot v = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \dots + u_n v_n.
$$

A **norma** de $u$ é $\|u\| = \sqrt{u \cdot u}$, o comprimento do vetor. Com $u = (3, 4)$, $\|u\| = \sqrt{9 + 16} = 5$.

A ligação à geometria está na fórmula $u \cdot v = \|u\| \, \|v\| \cos \theta$, onde $\theta$ é o ângulo entre os vetores. Com $u = (1, 0)$ e $v = (1, 1)$: $u \cdot v = 1$, $\|u\| = 1$, $\|v\| = \sqrt{2}$, logo $\cos \theta = 1/\sqrt{2}$ e $\theta = 45^\circ$. O sinal do produto escalar diz-te o tipo de ângulo: positivo é agudo, zero é reto, negativo é obtuso.

Dois vetores com produto escalar nulo dizem-se **ortogonais** (perpendiculares). As propriedades essenciais são a comutatividade, $u \cdot v = v \cdot u$, a distributividade e $(ku) \cdot v = k(u \cdot v)$. Um erro clássico é tentar “dividir” por um vetor ou distribuir uma norma: $\|u + v\|$ não é $\|u\| + \|v\|$ em geral (é a desigualdade triangular: $\|u + v\| \leq \|u\| + \|v\|$).

## Produto vetorial: só em R3

O **produto vetorial** só existe em $\mathbb{R}^3$.[1](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/produtos-vetoriais/#user-content-fn-so-r3) Para $a = (a_1, a_2, a_3)$ e $b = (b_1, b_2, b_3)$,

$$
a \times b = (a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1).
$$

Uma mnemónica é o determinante simbólico com os versores $e_1, e_2, e_3$ na primeira linha:

$$
a \times b = \det \begin{bmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix},
$$

expandido pela primeira linha. Com $a = (1, 0, 0)$ e $b = (0, 1, 0)$ obténs $(0, 0, 1)$: o produto dos dois primeiros versores canónicos é o terceiro, e as permutações cíclicas funcionam da mesma forma.

O vetor $a \times b$ é ortogonal a $a$ e a $b$ (confirma com o produto escalar: dá sempre zero), e o seu módulo mede a **área do paralelogramo** definido por $a$ e $b$:

$$
\|a \times b\| = \|a\| \, \|b\| \sin \theta.
$$

Por exemplo, $a = (2, 0, 0)$ e $b = (0, 3, 0)$ dão $a \times b = (0, 0, 6)$, com módulo 6: o retângulo de lados 2 e 3. O sentido segue a **regra da mão direita**: com o indicador ao longo de $a$ e o dedo médio ao longo de $b$, o polegar aponta para $a \times b$.

![Retângulo de lados 2 e 3 com o vetor produto vetorial a sair do centro.](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/produtos-vetoriais/figura-1.svg)

As propriedades pedem atenção porque são quase, mas não exatamente, as habituais:

*   **anticomutatividade**: $a \times b = -(b \times a)$;
*   distributividade e $(ka) \times b = a \times (kb) = k(a \times b)$;
*   **não** é associativo: $a \times (b \times c)$ difere em geral de $(a \times b) \times c$.

Se $a \times b = 0$ com $a$ e $b$ não nulos, os vetores são paralelos (um é múltiplo escalar do outro). É um teste de paralelismo muito prático.

## Produto misto: volumes e coplanaridade

O **produto misto** de três vetores de $\mathbb{R}^3$ é o número $[u, v, w] = (u \times v) \cdot w$, que coincide com o determinante da matriz que tem os três vetores como linhas (ou colunas):

$$
[u, v, w] = \det \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{bmatrix}.
$$

O seu módulo é o **volume do paralelepípedo** definido pelos três vetores. Os versores canónicos dão determinante 1, logo o cubo unitário tem volume 1, como esperado.

A consequência mais usada: $[u, v, w] = 0$ exatamente quando os três vetores são **coplanares** (linearmente dependentes). Testa $u = (1, 1, 0)$, $v = (0, 1, 1)$, $w = (1, 2, 1)$. Primeiro $u \times v = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1,\; 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1,\; 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = (1, -1, 1)$. Depois $(u \times v) \cdot w = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 0$. São coplanares: de facto, $w = u + v$. Permutações cíclicas dos três vetores mantêm o valor do produto misto; trocar dois deles troca o sinal, tal como no determinante.

## Projeção ortogonal

O produto escalar também serve para decompor um vetor na direção de outro. A **projeção ortogonal** de $a$ sobre $b \neq 0$ é o vetor na direção de $b$ dado por

$$
\operatorname{proj}_b a = \frac{a \cdot b}{b \cdot b} \, b.
$$

A diferença $a - \operatorname{proj}_b a$ é ortogonal a $b$: subtrair a projeção remove exatamente a componente ao longo de $b$.

Exemplo em $\mathbb{R}^2$: projeta $a = (3, 1)$ sobre $b = (1, 1)$. Como $a \cdot b = 4$ e $b \cdot b = 2$,

$$
\operatorname{proj}_b a = \frac{4}{2}(1, 1) = (2, 2),
$$

e o complemento é $(3, 1) - (2, 2) = (1, -1)$. Confirma a ortogonalidade: $(2, 2) \cdot (1, -1) = 2 - 2 = 0$. Repetir esta decomposição vetor a vetor (tirar a cada um as componentes nas direções já tratadas) é o **processo de Gram-Schmidt**, que transforma qualquer base numa base ortogonal.

## Confirmar com um programa

O programa seguinte calcula o produto vetorial e o produto misto do exemplo desta página. Corre-o e confirma que obténs $(1, -1, 1)$ e $0$ (os vetores são coplanares); depois testa com os teus exercícios.

```python
def cross(a, b):
    return (a[1] * b[2] - a[2] * b[1], a[2] * b[0] - a[0] * b[2], a[0] * b[1] - a[1] * b[0])

def dot(a, b):
    return sum(x * y for x, y in zip(a, b))

u, v, w = (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 2, 1)
print(cross(u, v))
print(dot(cross(u, v), w))
```

## Ver com outros olhos

Este vídeo mostra o produto vetorial como transformação linear que mede áreas orientadas.

[Vídeo: Cross products in the light of linear transformations, Chapter 11, Essence of linear algebra](https://www.youtube.com/watch?v=BaM7OCEm3G0)

A miniatura vem do YouTube. O vídeo só carrega quando clicas. [Abrir no YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=BaM7OCEm3G0)

## Quadro comparativo

| Produto | Onde vive | Resultado | Mede | Zero significa |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $u \cdot v$ | $\mathbb{R}^n$ | escalar | ângulo, comprimento | ortogonalidade |
| $u \times v$ | $\mathbb{R}^3$ | vetor | área do paralelogramo | vetores paralelos |
| $[u, v, w]$ | $\mathbb{R}^3$ | escalar | volume do paralelepípedo | vetores coplanares |

## O que costuma correr mal

*   Calcular produtos vetoriais em $\mathbb{R}^2$. Não existem: ou trabalhas com o escalar, ou mergulhas os vetores em $\mathbb{R}^3$ com terceira coordenada zero.
*   Trocar a ordem do produto vetorial sem trocar o sinal, ou assumir associatividade.
*   Errar sinais nas componentes do meio do produto vetorial (a segunda componente é $a_3 b_1 - a_1 b_3$, com a ordem “trocada” em relação ao que o padrão sugere).
*   Esquecer o módulo ao calcular áreas e volumes: o produto vetorial é um vetor e o misto tem sinal; áreas e volumes usam o valor absoluto.

## Notas de rodapé

1.  Em $\mathbb{R}^2$ não há direção perpendicular ao plano, por isso o produto vetorial não existe aí. Ou trabalhas com o escalar, ou mergulhas os vetores em $\mathbb{R}^3$ com terceira coordenada zero. [Voltar](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/produtos-vetoriais/#user-content-fnref-so-r3)